[论文解读] Extending the Prym map to toroidal compactifications of the moduli space of abelian varieties

Sebastian Casalaina‐Martin, Samuel Grushevsky+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 8

一句话总结

本论文提出了一套霍奇理论框架，将雅可比映射从稳定曲线的可允许双覆盖扩展至主极化阿贝尔簇模空间的藤田紧化。通过单值锥分析分离几何与组合结构，本文对完美锥与中心锥紧化下的不定点集给出了完整的组合刻画，对至余维数六的不定点集提供了几何描述，并对至余维数四的不定点集给出了显式藤田解析——统一并推广了关于第二伏罗诺伊紧化的先前结果。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to present a conceptual approach to understanding the extension of the Prym map from the space of admissible double covers of stable curves to different toroidal compactifications of the moduli space of principally polarized abelian varieties. By separating the combinatorial problems from the geometric aspects we can reduce this to the computation of certain monodromy cones. In this way we not only shed new light on the extension results of Alexeev, Birkenhake, Hulek, and Vologodsky for the second Voronoi toroidal compactification, but we also apply this to other toroidal compactifications, in particular the perfect cone compactification, for which we obtain a combinatorial characterization of the indeterminacy locus, as well as a geometric description up to codimension six, and an explicit toroidal resolution of the Prym map up to codimension four.

研究动机与目标

• 开发一种概念性的霍奇理论方法，将雅可比映射扩展至主极化阿贝尔簇模空间的藤田紧化。
• 通过聚焦单值锥，将扩展问题的几何与组合方面分离开来。
• 对完美锥与中心锥紧化下的不定点集提供完整的组合刻画。
• 对不定点集在至余维数六范围内的几何结构给出描述，并对至余维数四范围内的不定点集构造显式藤田解析。
• 通过更直接的霍奇理论方法，统一并重新推导关于第二伏罗诺伊紧化的先前结果。

提出的方法

• 采用周期映射至经典周期域的一般框架，结合皮卡德-莱夫谢茨型的单值变换。
• 将扩展问题简化为计算与可允许双覆盖退化相关的单值锥。
• 利用稳定曲线的对偶图及其同调结构来建模单值锥结构，特别通过边的移除与收缩操作。
• 应用图分解的组合引理以简化单值锥计算，尤其针对具有单顶点交点或环的图。
• 利用对偶图上可允许对合的结构，将单值锥分解为块对角形式。
• 通过已知对应关系将结果转化为稳定半阿贝尔对的语言，从而实现几何解释。

实验结果

研究问题

• RQ1 什么条件决定了雅可比映射向主极化阿贝尔簇模空间不同藤田紧化的扩展？
• RQ2 如何对完美锥与中心锥紧化下的雅可比映射不定点集进行组合刻画？
• RQ3 在可允许双覆盖模空间的紧化中，不定点集在至余维数六范围内的几何结构是什么？
• RQ4 能否在至余维数四范围内构造雅可比映射的显式藤田解析？
• RQ5 单值锥结构如何与具有多个节点的弗里德曼-史密斯覆盖的几何相关联？

主要发现

• 对完美锥与中心锥紧化下的不定点集获得了完整的组合刻画，推广并重新证明了关于第二伏罗诺伊紧化的早期结果。
• 雅可比映射至完美锥紧化的不定点集在至余维数六范围内，以至少含四个节点的弗里德曼-史密斯覆盖的形式给出了几何描述。
• 在至余维数四范围内构造了雅可比映射的显式藤田解析，成功将映射解析至完美锥与第二伏罗诺伊紧化。
• 证明了至少含四个节点的弗里德曼-史密斯覆盖的单值锥是非拟阵的，从而提供了扩展的组合障碍。
• 该方法通过将扩展问题的几何部分与组合部分分离开来，统一了托里和雅可比映射的处理方式。
• 该框架为第二伏罗诺伊紧化下的扩展结果提供了全新的、基于霍奇理论的证明，独立于稳定半阿贝尔对的方法。