[论文解读] Extensible grids: uniform sampling on a space-filling curve

Zhijian He, Art B. Owen|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2014

Mathematical Approximation and Integration参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文提出通过将一维低差异序列（如 van der Corput 序列）映射到希尔伯特空间填充曲线，利用希尔伯特空间填充曲线在 $[0,1]^d$ 中生成可扩展的、均匀分布的求积点。该方法证明，对于利普希茨连续函数，其均方误差率可达 $O(n^{-1-2/d})$；对于某些不连续函数，其均方误差率为 $O(n^{-1-1/d})$，与基于网格的方法相当，但无需 $n$ 为完全幂次，从而实现了可扩展的、维度鲁棒的准蒙特卡洛积分。

ABSTRACT

We study the properties of points in $[0,1]^d$ generated by applying Hilbert's space-filling curve to uniformly distributed points in $[0,1]$. For deterministic sampling we obtain a discrepancy of $O(n^{-1/d})$ for $d\ge2$. For random stratified sampling, and scrambled van der Corput points, we get a mean squared error of $O(n^{-1-2/d})$ for integration of Lipshitz continuous integrands, when $d\ge3$. These rates are the same as one gets by sampling on $d$ dimensional grids and they show a deterioration with increasing $d$. The rate for Lipshitz functions is however best possible at that level of smoothness and is better than plain IID sampling. Unlike grids, space-filling curve sampling provides points at any desired sample size, and the van der Corput version is extensible in $n$. Additionally we show that certain discontinuous functions with infinite variation in the sense of Hardy and Krause can be integrated with a mean squared error of $O(n^{-1-1/d})$. It was previously known only that the rate was $o(n^{-1})$. Other space-filling curves, such as those due to Sierpinski and Peano, also attain these rates, while upper bounds for the Lebesgue curve are somewhat worse, as if the dimension were $\log_2(3)$ times as high.

研究动机与目标

• 开发一种在高维单位立方体 $[0,1]^d$ 中实现均匀采样的方法，该方法在样本数 $n$ 上可扩展，且避免了 $n = m^d$ 的网格大小约束。
• 分析通过希尔伯特空间填充曲线将一维低差异序列（如 van der Corput 序列）映射后生成的点集的不均匀性与均方误差（MSE）。
• 建立对具有不同光滑度的函数（包括利普希茨连续函数与无限变差的不连续函数）积分的收敛速率。
• 将希尔伯特采样方法与其它空间填充曲线（皮亚诺、谢尔宾斯基、勒贝格）进行比较，证明希尔伯特及其相关曲线可实现最优或近似最优的收敛速率。

提出的方法

• 使用希尔伯特空间填充曲线 $H$ 将一维区间 $[0,1]$ 中的点 $x_i$ 映射为 $d$ 维点 $P_i = H(x_i) \in [0,1]^d$。
• 由于其低差异性和在随机化准蒙特卡洛（RQMC）中易于扰动，选择以 2 为基的 van der Corput 序列作为一维点集。
• 对 van der Corput 点进行随机扰动以降低方差，仅需存储前 $k$ 位数的 $n-1$ 个置换，从而实现高效存储与可扩展性。
• 分析所得 $d$ 维点集的星不均匀性，证明其为 $O(n^{-1/d})$，与基于网格的采样速率一致。
• 利用曲线的霍尔德连续性性质，建立通过希尔伯特映射对利普希茨函数和不连续函数进行积分的理论均方误差界。
• 比较不同空间填充曲线（希尔伯特、皮亚诺、谢尔宾斯基、勒贝格）的性能，发现勒贝格曲线因霍尔德指数较低，有效维度更高。

实验结果

研究问题

• RQ1 希尔伯特曲线采样是否可在不强制要求 $n = m^d$ 的前提下，实现与基于网格的求积规则相当的收敛速率？
• RQ2 使用随机化希尔伯特采样对利普希茨连续函数进行积分时，其均方误差率是多少？
• RQ3 对于具有无限变差但有限闵可夫斯基内容的不连续函数（如指示函数），该方法能否实现优于蒙特卡洛方法的误差率？
• RQ4 希尔伯特、皮亚诺、谢尔宾斯基、勒贝格等不同空间填充曲线在不均匀性与误差率方面表现如何比较？
• RQ5 希尔伯特采样方法是否可扩展？其在维度增加时是否能保持低不均匀性与低方差？

主要发现

• 通过将一维低差异序列映射到希尔伯特曲线所生成的点集的星不均匀性为 $O(n^{-1/d})$，与 $d$ 维空间中基于网格的采样速率一致。
• 对于利普希茨连续的被积函数，通过随机化希尔伯特采样（基于扰动的 van der Corput 序列）的均方误差为 $O(n^{-1-2/d})$，优于普通蒙特卡洛方法，且与基于网格的分层抽样速率相当。
• 对于某些具有无限变差但有限闵可夫斯基内容的不连续函数，其均方误差为 $O(n^{-1-1/d})$，优于此前已知的 $o(n^{-1})$ 速率。
• 该方法具有可扩展性：基于 van der Corput 的构造允许在不重新计算整个点集的前提下任意添加点，而无需像固定网格方法那样受限。
• 其他空间填充曲线（如皮亚诺与谢尔宾斯基）由于具有类似的霍尔德连续性性质，也能达到相同的收敛速率，而勒贝格曲线表现更差，其有效维度被放大了 $\log_2(3) \approx 1.58$ 倍。
• 数值实验表明，对于平滑函数、尖点函数与不连续函数，在维度 $d = 2, 3, 8, 16$ 下，观测到的均方误差与理论速率高度吻合。