[论文解读] Extension complexity of stable set polytopes of bipartite graphs

Manuel Aprile, Yuri Faenza+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文建立了二分图稳定集多面体扩展复杂度的改进上界与下界。通过矩形覆盖和几何构造中的中心矩形，证明了上界为 $ O(n^2 / \log n) $；并针对有限射影平面的关联图，证明了下界为 $ \Omega(n \log n) $，首次在该类图中实现超线性扩展复杂度。

ABSTRACT

The extension complexity $\mathsf{xc}(P)$ of a polytope $P$ is the minimum number of facets of a polytope that affinely projects to $P$. Let $G$ be a bipartite graph with $n$ vertices, $m$ edges, and no isolated vertices. Let $\mathsf{STAB}(G)$ be the convex hull of the stable sets of $G$. It is easy to see that $n \leqslant \mathsf{xc} (\mathsf{STAB}(G)) \leqslant n+m$. We improve both of these bounds. For the upper bound, we show that $\mathsf{xc} (\mathsf{STAB}(G))$ is $O(\frac{n^2}{\log n})$, which is an improvement when $G$ has quadratically many edges. For the lower bound, we prove that $\mathsf{xc} (\mathsf{STAB}(G))$ is $Ω(n \log n)$ when $G$ is the incidence graph of a finite projective plane. We also provide examples of $3$-regular bipartite graphs $G$ such that the edge vs stable set matrix of $G$ has a fooling set of size $|E(G)|$.

研究动机与目标

• 改进二分图稳定集多面体扩展复杂度的已知上界与下界。
• 确定平凡界 $ n \leq \mathsf{xc}(\mathsf{STAB}(G)) \leq n + m $ 是否可显著收紧。
• 构造显式二分图族，使得其扩展复杂度在顶点数上超过线性增长。
• 探索当前技术（如迷惑集与矩形覆盖）在推导更强下界时的局限性。

提出的方法

• 作者在几何框架中使用矩形覆盖与中心矩形，构建稳定集多面体的紧凑扩展。
• 他们定义分层树结构 $ T(q+1) $ 以组织顶点与直线，支持覆盖矩形的递归构造。
• 对每个中心点 $ \mathsf{c} $，通过保持覆盖性的同时减少总数的求和运算，组合来自多条直线的矩形。
• 应用一种约简技术，将具有相同中心的多个矩形合并为单个最大矩形，使矩形总数减少 $ q $ 倍。
• 该方法利用有限射影平面的性质，构造出具有高迷惑集大小的图，从而实现强下界。
• 他们引入松弛矩阵中特殊条目的概念，并证明所有此类条目均可被精心构造的中心矩形集合所覆盖。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于稠密图，二分图 $ \mathsf{STAB}(G) $ 的扩展复杂度上界 $ n + m $ 是否可进一步改进？
• RQ2 是否存在一类二分图，其扩展复杂度在顶点数 $ n $ 上增长快于线性？
• RQ3 3-正则二分图的边-稳定集矩阵中，迷惑集的最大可能大小是多少？
• RQ4 当前的矩形覆盖与迷惑集技术能否推广至其他图类，以获得超线性下界？
• RQ5 哪些二分图的结构特性导致其稳定集多面体具有高扩展复杂度？

主要发现

• 任意具有 $ n $ 个顶点的二分图 $ G $ 的 $ \mathsf{STAB}(G) $ 的扩展复杂度至多为 $ O(n^2 / \log n) $，当 $ m = \Omega(n^2) $ 时，优于平凡界 $ n + m $。
• 对于有限射影平面的关联图，扩展复杂度为 $ \Omega(n \log n) $，这是首次在二分图的稳定集多面体中发现超线性下界。
• 存在 3-正则二分图，其边-稳定集矩阵可容纳大小等于边数的迷惑集，表明其具有高复杂度。
• 通过中心矩形与分层树结构构造矩形覆盖，可使矩形数量从 $ O(nq\log q) $ 降低至 $ O(n\log n) $，从而实现改进的上界。
• 本文表明，当前基于矩形覆盖与迷惑集的方法无法获得优于 $ \Omega(n \log n) $ 的下界，提示需发展新方法以进一步提升。