[论文解读] Extension criteria for homogeneous Sobolev space of functions of one variable

Pavel Shvartsman|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2018

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文为实直线任意闭子集上的函数提供了扩展到齐次Sobolev空间 $L_p^m(\mathbb{R})$ 的内在准则，其中 $p > 1$ 且 $m \in \mathbb{N}$。它证明了经典的Whitney扩展算子在这些空间中具有普遍最优性，其算子范数由仅依赖于 $m$ 的常数有界，并通过 $m$ 阶差商导出了构造性扩展准则。

ABSTRACT

For each $p>1$ and each positive integer $m$ we give intrinsic characterizations of the restriction of the homogeneous Sobolev space $L^m_p(R)$ to an arbitrary closed subset $E$ of the real line. We show that the classical one dimensional Whitney extension operator is "universal" for the scale of $L^m_p(R)$ spaces in the following sense: for every $p\in(1,\infty]$ it provides almost optimal $L^m_p$-extensions of functions defined on $E$. The operator norm of this extension operator is bounded by a constant depending only on $m$. This enables us to prove several constructive $L^m_p$-extension criteria expressed in terms of $m^{th}$ order divided differences of functions.

研究动机与目标

• 为任意闭子集 $E \subset \mathbb{R}$ 及 $p > 1$，$m \in \mathbb{N}$，刻画迹空间 $L_p^m(\mathbb{R})|_E$。
• 确定函数 $f$ 在 $E$ 上的扩展在 $L_p^m(\mathbb{R})$ 中的最小半范数。
• 证明Whitney扩展算子在所有 $p \in (1, \infty]$ 下对 $L_p^m(\mathbb{R})$ 空间均具有普遍最优性。
• 以 $m$ 阶差商的形式提供可构造的扩展准则。
• 仅以 $m$ 为参数，统一有界Whitney扩展算子的算子范数。

提出的方法

• 使用经典的Whitney扩展算子作为 $L_p^m(\mathbb{R})$ 空间的通用扩展机制。
• 应用差商理论，特别是 $m$ 阶差商 $\Delta^m f[S]$，以刻画迹范数。
• 建立迹范数 $\|f\|_{L_p^m(\mathbb{R})|_E}$ 与涉及 $|\Delta^m f[x_i, \dots, x_{i+m}]|^p$ 的离散和之间的等价性，该和以间距 $x_{i+m} - x_i$ 加权。
• 利用已知的 $L_\infty^m(\mathbb{R}) \cong C^{m-1,1}(\mathbb{R})$ 结果，并通过对偶性和插值技术将其推广至 $L_p^m(\mathbb{R})$。
• 采用尖锐常数 $\gamma^\sharp(L_p^m(\mathbb{R}))$ 来量化扩展算子的算子范数。
• 使用有限集 $E'$ 近似迹范数，通过 $\|f|_{E'}\|_{L_p^m(\mathbb{R})|_{E'}}$ 证明迹范数是所有有限子集上该范数的上确界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的闭集 $E \subset \mathbb{R}$ 和函数 $f: E \to \mathbb{R}$，何时存在一个扩展 $F \in L_p^m(\mathbb{R})$ 满足 $F|_E = f$？
• RQ2 所有此类扩展 $F$ 中，$\|F\|_{L_p^m(\mathbb{R})}$ 的下确界是多少？
• RQ3 能否证明Whitney扩展算子在所有 $p \in (1, \infty]$ 下均为半范数意义下的最优？
• RQ4 如何利用 $m$ 阶差商刻画迹范数 $\|f\|_{L_p^m(\mathbb{R})|_E}$？
• RQ5 Whitney扩展算子的算子范数在所有 $p \in (1, \infty]$ 上是否存在统一的有界？

主要发现

• 对于 $p \in (1, \infty)$，函数 $f$ 在闭集 $E \subset \mathbb{R}$ 上可扩展至 $L_p^m(\mathbb{R})$ 当且仅当量 $\widetilde{\mathcal{L}}_{m,p}(f:E) = \left(\sum_{i} (x_{i+m} - x_i) |\Delta^m f[x_i, \dots, x_{i+m}]|^p \right)^{1/p}$ 有限。
• 迹范数 $\|f\|_{L_p^m(\mathbb{R})|_E}$ 与 $\widetilde{\mathcal{L}}_{m,p}(f:E)$ 等价，常数仅依赖于 $m$。
• Whitney扩展算子对所有 $p \in (1, \infty]$ 提供了近乎最优的扩展，其算子范数由仅依赖于 $m$ 的常数有界。
• 对于 $p = \infty$，迹范数等价于 $\sup_{S \subset E, \#S = m+1} |\Delta^m f[S]|$，且Whitney算子以一个绝对常数因子达到该范数。
• 尖锐常数 $\gamma^\sharp(L_p^m(\mathbb{R}))$ 满足 $K(m) \leq \gamma^\sharp(L_p^m(\mathbb{R})) \leq \Theta_m$（$m > 2$），其中 $K(2) = 2$，且对 $m = 1,2$ 有 $\theta_m = K(m)$。
• 迹范数满足 $\|f\|_{L_p^m(\mathbb{R})|_E} = \sup_{E' \subset E, \#E' < \infty} \|f|_{E'}\|_{L_p^m(\mathbb{R})|_{E'}}$，表明该范数由有限子集完全决定。