[论文解读] Extension groups of tautological sheaves on Hilbert schemes

Andreas Krug|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文利用Bridgeland–King–Reid等价关系和L. Scala的研究结果，为光滑拟射影曲面上点的Hilbert概形上典范层与扭曲典范对象之间的扩张群提供了显式公式。关键贡献在于一个自然同构，将这些扩张群表达为表面上的Ext群与线丛之间Ext群的对称幂的张量积的直和形式。

ABSTRACT

We give formulas for the extension groups between tautological sheaves and more general between tautological objects twisted by a determinant line bundle on the Hilbert scheme of points on a smooth quasi-projective surface. We do this using L. Scala's results about the image of tautological sheaves under the Bridgeland-King-Reid equivalence. We also compute the Yoneda products in terms of these formulas.

研究动机与目标

• 计算光滑拟射影曲面上点的Hilbert概形上典范层与扭曲典范对象之间的扩张群。
• 以原始曲面及其线丛的不变量来表达这些扩张群。
• 确定Hilbert概形的导出范畴中的Yoneda积结构。
• 将结果应用于研究当曲面具有平凡canonical丛时，其导出范畴中不存在球形或$\mathbb{P}^n$-对象的问题。

提出的方法

• 利用Bridgeland–King–Reid等价关系，将Hilbert概形的导出范畴与曲面$n$重积的等变导出范畴联系起来。
• 应用L. Scala关于典范层在该等价关系下像的结果来计算Ext群。
• 通过$\mathfrak{S}_n$-簇的全族定义典范对象，利用傅里叶–穆凯伊变换。
• 推导出扩张群的分解式，其形式为包含$\operatorname{Ext}^*(E^\bullet \otimes L, F^\bullet \otimes M)$与$\operatorname{Ext}^*(L,M)$的对称幂的直和。
• 通过分析$n$重积上Ext群张量积中的$\mathfrak{S}_n$-不变元素，计算Yoneda积。
• 利用群作用对称性与对置换的组合求和，识别Yoneda积的各分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于$\operatorname{D}^b(X)$中的对象$E^\bullet, F^\bullet$与线丛$L,M$，$\operatorname{Ext}^*((E^\bullet)^{[n]} \otimes \mathcal{D}_L, (F^\bullet)^{[n]} \otimes \mathcal{D}_M)$的结构是什么？
• RQ2 Hilbert概形的导出范畴中的Yoneda积如何用曲面上的数据表达？
• RQ3 在何种条件下，$X^{[n]}$上的扭曲典范对象不是球形或$\mathbb{P}^n$-对象？
• RQ4 典范层之间的扩张群能否分解为曲面不变量的对称幂分量？
• RQ5 在点的Hilbert概形背景下，典范对象在Bridgeland–King–Reid等价关系下的精确像是什么？

主要发现

• 存在一个分次向量空间的自然同构：$\operatorname{Ext}^*((E^\bullet)^{[n]} \otimes \mathcal{D}_L, (F^\bullet)^{[n]} \otimes \mathcal{D}_M) \cong \operatorname{Ext}^*(E^\bullet \otimes L, F^\bullet \otimes M) \otimes S^{n-1}\operatorname{Ext}^*(L,M) \oplus \operatorname{Ext}^*(E^\bullet \otimes L, M) \otimes \operatorname{Ext}^*(L, F^\bullet \otimes M) \otimes S^{n-2}\operatorname{Ext}^*(L,M)$。
• 在$\operatorname{Ext}^*((E^\bullet)^{[n]} \otimes \mathcal{D}_L, (F^\bullet)^{[n]} \otimes \mathcal{D}_M)$中的Yoneda积由五个项的和给出，涉及Ext群的对称积与张量积，其系数来自$\mathfrak{S}_n$-不变的置换求和。
• 典范化函子$(-)^{[n]}$是忠实的但不是满的，这由映射$\varphi^{[n]} \otimes \operatorname{id}_{\mathcal{D}_M}$对应于分解中的特定分量所表明。
• 对于具有平凡canonical丛的射影曲面$X$，$X^{[n]}$上的扭曲典范对象在$\operatorname{D}^b(X^{[n]})$中永远不是球形或$\mathbb{P}^n$-对象。
• 当$E^\bullet = F^\bullet$为线丛且$L=M=\mathcal{O}_X$时，扩张群的公式退化为Scala已知的上同调公式（1.1），从而恢复$\operatorname{H}^*(X^{[n]}, F^{[n]}) \cong \operatorname{H}^*(F) \otimes S^{n-1}\operatorname{H}^*(\mathcal{O}_X)$。
• 该同构与导出范畴的自然结构相容，这一点通过Yoneda积与分解中预期复合的一致性得到验证。