[论文解读] Extension of Euclidean operator radius inequalities

Mohammad Sal Moslehian, Mostafa Sattari+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2015

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 7被引用 8

一句话总结

本文引入了希尔伯特空间上有界线性算子 $ n $-元组的广义 $ w_p $-范数，将欧几里得算子半径推广至 $ L^p $-型范数。建立了 $ w_p $ 的精确上界和下界，包括一个关键不等式，涉及满足 $ f(t)g(t) = t $ 的算子函数 $ f $ 和 $ g $，该不等式将经典数值半径界推广至 $ p $-范数和算子的 $ n $-元组情形。

ABSTRACT

To extend the Euclidean operator radius, we define $w_p$ for an $n$-tuples of operators $(T_1,\ldots, T_n)$ in $\mathbb{B}(\mathscr{H})$ by $w_p(T_1,\ldots,T_n):= \sup_{\| x \| =1} \left(\sum_{i=1}^{n}| \langle T_i x, x angle |^p ight)^{\frac1p}$ for $p\geq1$. We generalize some inequalities including Euclidean operator radius of two operators to those involving $w_p$. Further we obtain some lower and upper bounds for $w_p$. Our main result states that if $f$ and $g$ are nonnegative continuous functions on $\left[ 0,\infty ight) $ satisfying $f\left( t ight) g\left(t ight) =t$ for all $t\in \left[ 0,\infty ight) $, then \begin{equation*} w_{p}^{rp}\left( A_{1}^{\ast }T_{1}B_{1},\ldots ,A_{n}^{\ast }T_{n}B_{n} ight) \leq \frac{1}{2}\left\Vert \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\Big( \left[ B_{i}^{\ast }f^{2}\left( \left\vert T_{i} ight\vert ight) B_{i} ight] ^{rp}+\left[ A_{i}^{\ast }g^{2}\left( \left\vert T_{i}^{\ast } ight\vert ight) A_{i} ight] ^{rp}\Big) ight\Vert \end{equation*} for all $p\geq 1$, $r\geq 1$ and operators in $ \mathbb{B}(\mathscr{H})$.

研究动机与目标

• 将欧几里得算子半径推广为算子 $ n $-元组的新型 $ L^p $-型范数 $ w_p $。
• 将已知的数值半径和欧几里得算子半径不等式推广至新的 $ w_p $-范数框架。
• 推导 $ w_p $ 的精确上界和下界，特别是涉及满足 $ f(t)g(t) = t $ 的算子函数的情形。
• 统一并推广 $ p \geq 1 $ 时关于数值半径和笛卡尔分解的现有结果。

提出的方法

• 定义 $ w_p(T_1, \ldots, T_n) = \sup_{\|x\|=1} \left( \sum_{i=1}^n |\langle T_i x, x \rangle|^p \right)^{1/p} $，其中 $ p \geq 1 $，推广欧几里得半径（$ p=2 $）的情形。
• 利用闵可夫斯基不等式，证明 $ w_p $ 是 $ \mathbb{B}(\mathscr{H})^n $ 上的范数。
• 应用经典不等式：詹森不等式、柯西-施瓦茨型估计，以及算子均值的麦卡锡不等式。
• 通过函数演算，假设 $ f, g $ 是 $ [0, \infty) $ 上的非负连续函数，且满足 $ f(t)g(t) = t $。
• 通过涉及 $ f^2(|T_i|) $ 和 $ g^2(|T_i^*|) $ 的表达式进行算子范数估计，导出 $ w_p^{rp} $ 的范数不等式。
• 利用恒等式 $ |\langle T_i x, x \rangle| \leq \| f(|T_i|)x \| \| g(|T_i^*|)x \| $，将内积控制在算子函数的范围内。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将欧几里得算子半径推广至算子 $ n $-元组的 $ L^p $-型范数？
• RQ2 在算子函数方面，广义 $ w_p $-范数的精确上界和下界是什么？
• RQ3 经典数值半径不等式能否推广至 $ p \geq 1 $ 和 $ n \geq 2 $ 情形下的 $ w_p $？
• RQ4 满足 $ f(t)g(t) = t $ 的算子函数 $ f $ 和 $ g $ 在控制 $ w_p^{rp} $ 中起什么作用？
• RQ5 在变换 $ A_i^* T_i B_i $ 下，$ w_p $ 的界如何变化？

主要发现

• 主要结果表明，对于 $ p \geq 1 $，$ r \geq 1 $，有 $ w_p^{rp}(A_1^* T_1 B_1, \ldots, A_n^* T_n B_n) \leq \frac{1}{2} \left\| \sum_{i=1}^n \left( [B_i^* f^2(|T_i|) B_i]^{rp} + [A_i^* g^2(|T_i^*|) A_i]^{rp} \right) \right\| $。
• 当 $ \alpha = \frac{1}{2} $ 时，不等式简化为 $ w_p^p(T_1, \ldots, T_n) \leq \frac{1}{2} \left\| \sum_{i=1}^n (|T_i|^p + |T_i^*|^p) \right\| $。
• 对于两个算子 $ B, C $，有 $ w_p^p(B, C) \leq \left\| \alpha |B|^p + (1-\alpha)|B^*|^p + \alpha |C|^p + (1-\alpha)|C^*|^p \right\| $，且在 $ \alpha = \frac{1}{2} $ 时取等。
• 第二个界为 $ w_p(T_1, \ldots, T_n) \leq \left( \sum_{i=1}^n \| \alpha |T_i|^{2r} + (1-\alpha) |T_i^*|^{2r} \|^{p/(2r)} \right)^{1/p} $，适用于 $ r \geq 1 $，$ p \geq 1 $。
• 当 $ \alpha = \frac{1}{2} $ 时，得到 $ w_p(B, C) \leq \frac{1}{2^{1/(2r)}} \left( \| |B|^{2r} + |B^*|^{2r} \|^{p/(2r)} + \| |C|^{2r} + |C^*|^{2r} \|^{p/(2r)} \right)^{1/p} $。
• 结果推广了已知的数值半径和欧几里得半径界，并在 $ p \geq 1 $ 的统一 $ w_p $-框架下实现了统一。