[论文解读] Extension of holomorphic functions and cohomology classes from non reduced analytic subvarieties

Jean-Pierre Demailly|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 29被引用 4

一句话总结

该论文将Ohsawa-Takegoshi的$L^2$延拓定理推广至由具有整齐解析奇点的 quasi-psh 函数所关联的乘子理想层的零点定义的非约解析子簇。通过在Bochner-Kodaira技巧中应用$L^2$逼近，该研究在最优曲率条件下建立了此类子簇上上同调类的限制态射的满射性，标志着经典延拓结果在奇异及非约情形下的重大推广。

ABSTRACT

The goal of this survey is to describe some recent results concerning the L 2 extension of holomorphic sections or cohomology classes with values in vector bundles satisfying weak semi-positivity properties. The results presented here are generalized versions of the Ohsawa-Takegoshi extension theorem, and borrow many techniques from the long series of papers by T. Ohsawa. The recent achievement that we want to point out is that the surjectivity property holds true for restriction morphisms to non necessarily reduced subvarieties, provided these are defined as zero varieties of multiplier ideal sheaves. The new idea involved to approach the existence problem is to make use of L 2 approximation in the Bochner-Kodaira technique. The extension results hold under curvature conditions that look pretty optimal. However, a major unsolved problem is to obtain natural (and hopefully best possible) L 2 estimates for the extension in the case of non reduced subvarieties -- the case when Y has singularities or several irreducible components is also a substantial issue.

研究动机与目标

• 将Ohsawa-Takegoshi的$L^2$延拓定理推广至非约解析子簇。
• 建立此类子簇上上同调类的限制态射的满射性。
• 在存在奇点或多重分支的情况下，实现延拓定理的最优曲率条件。
• 解决在非约子簇上延拓的自然$L^2$估计缺失的问题。
• 为具有复结构、包括奇点和多重分支的复子簇提供插值与延拓的框架。

提出的方法

• 利用Bochner-Kodaira技巧结合$L^2$逼近来控制$\overline{\partial}$-方程的解。
• 对取值于$K_X \otimes E \otimes \mathcal{I}(he^{-\psi})$的$(n,q)$-形式应用$L^2$估计，其中$\mathcal{I}(he^{-\psi})$为乘子理想层。
• 施加形如$\Theta_{E,h} + (1+\alpha\delta)i\partial\overline{\partial}\psi \geq 0$的曲率条件，其中$\alpha = 0,1$，以确保在当前意义下的正性。
• 使用截断函数$\theta(\psi - t)$来局部化延拓问题并控制误差项。
• 利用$\overline{\partial}$-闭性与$C^\infty$-拓扑中的收敛性，确保全局延拓的存在性。
• 通过Remmert约化在Stein基空间$S$上应用逼近论证，利用$X$的全纯凸性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$L^2$条件下，全纯截面或上同调类能否从非约解析子簇延拓到全空间？
• RQ2 线丛$E$与权重$\psi$的何种曲率条件能保证限制态射到此类子簇的满射性？
• RQ3 当子簇$Y$具有奇点或多重不可约分支时，能否获得最优的$L^2$估计以实现延拓？
• RQ4 $L^2$逼近技术如何在非约情形下改进经典Ohsawa-Takegoshi方法？
• RQ5 Bochner-Kodaira恒等式在何种程度上可被调整以处理具有整齐解析奇点的乘子理想层？

主要发现

• 在曲率条件$\Theta_{E,h} + (1+\alpha\delta)i\partial\overline{\partial}\psi \geq 0$（$\alpha = 0,1$）下，限制态射$H^q(X, K_X \otimes E \otimes \mathcal{I}(he^{-\psi})) \to H^q(X, K_X \otimes E \otimes \mathcal{I}(h))$是单射的。
• 对于由具有整齐解析奇点的乘子理想层$\mathcal{I}(e^{-\psi})$的零点定义的非约子簇$Y$，限制映射的满射性成立。
• 在证明中显示为最优的曲率条件下，延拓结果成立，从而推广了经典的$L^2$延拓定理。
• $L^2$逼近方法可控制$\overline{\partial}$-问题中的误差项，从而实现解在$C^\infty$拓扑中的收敛。
• 该方法为即使$Y$具有奇点或可约的情形也提供了上同调类延拓的框架，尽管自然$L^2$估计仍是开放问题。
• 通过Remmert约化，结果适用于全纯凸Kähler流形，从而允许在Stein基上考虑相对情形。