[论文解读] Extension of representations in quasi *-algebras

Jean-Pierre Antoine, Фабио Багарелло+1 more|ArXiv.org|Apr 6, 2009

Advanced Algebra and Logic参考文献 18被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种基于闭包的扩展方法，用于拓扑拟*-代数 𝔄 中稠密的 *-子代数 𝔄₀ 的 *-表示，使得无界算子可被扩展至原始定义域之外。关键贡献在于证明了可通过 s*-拓扑中的极限实现表示的扩展，并在 CCR 代数和 L^p-L^s 对偶性中给出了显式实现，从而在对偶空间中得到一个更大的拟*-代数。

ABSTRACT

Let $(A, A_o)$ be a topological quasi *-algebra, which means in particular that $A_o$ is a topological *-algebra, dense in $A$. Let $π^o$ be a *-representation of $A_o$ in some pre-Hilbert space ${\cal D} \subset {\cal H}$. Then we present several ways of extending $π^o$, by closure, to some larger quasi *-algebra contained in $A$, either by Hilbert space operators, or by sesquilinear forms on ${\cal D}$. Explicit examples are discussed, both abelian and nonabelian, including the CCR algebra.

研究动机与目标

• 解决在拓扑拟*-代数 𝔄 中，稠密 *-子代数 𝔄₀ 的 *-表示如何超越原始定义域的问题。
• 开发一种基于闭包的扩展过程，生成原始表示中不包含的新算子，此方法与无界算子的标准闭包不同。
• 建立在 s*-拓扑中收敛的条件下，将 𝔄₀ 上的表示扩展至 𝔄 内更大拟*-代数的条件。
• 在物理上有意义的实例中，如 CCR 代数和 L^p-L^s 对偶性中，提供扩展过程的显式实现。
• 阐明拓扑（尤其是 s*-拓扑）在实现定义于无界定义域上的表示扩展中的作用。

提出的方法

• 在 𝒟 ⊂ 𝒫 的稠密子空间上定义 𝔄₀ 的表示 π⁰，其取值于部分 O*-代数 𝒫(𝒟,𝒫)（即映 𝒟 到 𝒫 且其共轭映射将 𝒫 映入 𝒟 的算子）。
• 通过 φ ∈ 𝒟 的半范数 ‖Aφ‖ 和 ‖A†φ‖ 定义 𝒫(𝒟,𝒫) 上的 s*-拓扑，该拓扑弱于一致拓扑。
• 定义集合 𝔸̃(π, τ_op) 为 𝔄 中满足存在 net {Xα} ⊂ 𝔄₀ 使得 Xα → X 在 τ 下收敛，且 π⁰(Xα) 在 τ_op 下为柯西列的元素 X 的集合。
• 通过设置 π(X) = τ_op-lim π⁰(Xα) 将 π⁰ 扩展至 X ∈ 𝔸̃(π, τ_op)，其取值于 𝒫(𝒟,𝒫) 的 τ_op-完备化空间。
• 利用 L^p(X) 与 L^s(X) 之间的对偶性（其中 s = 2p/(p−2)），证明当 π⁰ 是 L^p(X) 上的 GNS 表示时，𝔸̃(π, τ_s*) = L^s(X)。
• 通过证明：若 fₙ → 0 在 L¹ 中且 π⁰(fₙ) → Y 在 s*-拓扑中，则必有 Y = 0，从而证明 π⁰ 是 τ_s*-可扩展的，确保极限的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在拓扑拟*-代数 𝔄 中，稠密 *-子代数 𝔄₀ 的 *-表示 π⁰ 是否可扩展至更大的无界算子代数？
• RQ2 表示空间上的何种拓扑结构可实现此类扩展，其与无界算子标准闭包有何不同？
• RQ3 在 CCR 代数或 L^p-L^s 对偶性的情形下，扩展表示的精确定义域是什么？
• RQ4 s*-拓扑如何促进对非一致有界表示的扩展？
• RQ5 在表示空间的完备化中，扩展表示在何种条件下是唯一且良定义的？

主要发现

• 在 C(X) ⊂ L¹(X) 上的表示 π⁰ 在一致拓扑下无法通过 τ_op 扩展至 L^s(X)，因为其在 C*-范数下已闭。
• 然而，在 s*-拓扑下，π⁰ 是 τ_s*-可扩展的，且扩展定义域恰好为 L^s(X)，其中 s = 2p/(p−2)。
• 𝒫(𝒟,𝒫) 的 s*-拓扑完备化即为完整的部分 O*-代数 𝒫†(𝒟,𝒫)，表明 s*-闭包捕获了所有可能的扩展。
• 对于 L^p(X) 上的 GNS 表示，τ_s*-可扩展元素的集合恰好为 L^s(X)，其中 s = 2p/(p−2)，该结果通过与 L^p(X) 的对偶性得出。
• 该扩展过程生成了一个更大的拟*-代数 𝔸̃(π, τ_s*) ⊂ 𝔄，其包含 𝔄₀，且对乘法与对合封闭。
• 该构造为通过 L^s(X) 作为扩展可观测量代数，实现了 CCR 代数的显式扩展。