[论文解读] Extension of the Fundamental Theorem of Algebra to Polynomial Matrix Equations over $Q$-Circulant Matrices

Hongjian Li|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2026

Matrix Theory and Algorithms被引用 0

一句话总结

该论文给出多项式矩阵方程的一个代数基本定理的类似结果，其中系数和未知数都为 Q-循环矩阵，并刻画了所有解。

ABSTRACT

In this paper, we establish an analogue of the Fundamental Theorem of Algebra for polynomial matrix equations, where both the coefficient matrices and the unknown matrix are $Q$-circulant matrices. This result generalizes Abramov's result for circulant matrices.

研究动机与目标

• 将 FTA 推广并扩展到带有 Q-循环系数和未知数的多项式矩阵方程的设定
• 在与非退化 Q 交换的矩阵的可交换代数 C(Q) 中刻画所有解
• 使用表示多项式和对角化技术将 Abramov 的圆周矩阵结果推广到 Q-循环矩阵，并从而实现推导。

提出的方法

• 用基 {I, Q, Q^2, ..., Q^{d-1}} 表示 Q-循环矩阵，表示多项式为 P_A(x) 的表示多项式
• 当 Q 具有 d 个互异本征值时，利用对角化形式 T^{-1} Q T = diag(λ_1, ..., λ_d)
• 证明 C(Q) = {T diag(u_1, ..., u_d) T^{-1}}，并推导出 X 是解当且仅当 g_i(u_i)=0 对每个 i 成立，其中 g_i(x) = x^n + f_1(λ_i) x^{n-1} + ... + f_n(λ_i)
• 将 f_k(x) 定义为 A_k 的表示多项式，并将矩阵方程化简为一组块对角的标量多项式方程
• 给出对特殊 Q 的推论（如 Q(k_1,...,k_d)）以及圆周矩阵情况，与 Abramov 的结果相关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 A_k 与 X 属于非退化 Q 的 C(Q) 时，X^n + A_1 X^{n-1} + ... + A_n = 0 的解集结构是什么？
• RQ2 如何利用 A_k 的表示多项式和 Q 的特征值将矩阵方程化简为独立的标量多项式方程？
• RQ3 结果如何在与圆周矩阵等价的 Q-循环矩阵及其他显式的 Q-循环族（如 Q(k_1,...,k_d)）的情形下具体化？
• RQ4 以标量多项式 g_i(x) 的根为基础，总解的个数是多少？

主要发现

• 矩阵方程在 C(Q) 的所有解均可写为 { T diag(u_1, ..., u_d) T^{-1} : g_i(u_i)=0 for i=1,...,d }。
• 每个 g_i(x) 为单调多项式 x^n + f_1(λ_i) x^{n-1} + ... + f_n(λ_i)，其中 f_k(x) 为 A_k 的表示多项式。
• 推论：总解数等于乘积 ∏_{i=1}^d n_i，其中 n_i 为 g_i 的不同根的个数。
• 特殊情形可回推 Abramov 针对圆周矩阵的结果（当 Q 对应于标准圆周情形时）。
• 论文给出针对 Q(k_1,...,k_d) 的具体推论和圆棒型 Q 的情形，以及 π（伴随）矩阵的实例，说明对角化思路与解计数。