[论文解读] Extension of the G{ü}nter derivatives to Lipschitz domains and application to the boundary potentials of elastic waves

A. Bendali, Sébastien Tordeux|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文将Günter导数扩展至Lipschitz区域，证明其在$H^s(\partial\Omega)$到$H^{s-1}(\partial\Omega)$之间定义有界算子，其中$0 \leq s \leq 1$，从而实现弹性波边界势的正则化。该方法通过将弹性层势约化为Helmholtz算子，避免使用高级椭圆系统理论，建立了弹性层势的映射性质，并在三维与二维情形下给出了单层势和双层势及其应力的显式公式。

ABSTRACT

The scalar G{ü}nter derivatives of a function defined on the boundary of a three-dimensional domain are expressed as components (or their opposites) of the tangential vector rotational of this function in the canonical orthonormal basis of the ambient space. This in particular implies that these derivatives define bounded operators from H s into H s--1 for 0 $\le$ s $\le$ 1 on the boundary of a Lipschitz domain, and can easily be implemented in boundary element codes. Regularization techniques for the trace and the traction of elastic waves potentials, previously built for a domain of class C 2 , can thus be extended to the Lipschitz case. In particular, this yields an elementary way to establish the mapping properties of elastic wave potentials from those of the Helmholtz equation without resorting to the more advanced theory for elliptic systems. Some attention is finally paid to the two-dimensional case.

研究动机与目标

• 将Günter导数理论扩展至经典正则性假设失效的Lipschitz边界。
• 在Lipschitz区域上建立Günter导数作为从$H^s$到$H^{s-1}$的有界算子，其中$0 \leq s \leq 1$，以恢复损失的正则性。
• 将弹性波势的正则化技术从$\mathcal{C}^2$区域推广至Lipschitz区域。
• 通过将弹性层势约化至Helmholtz方程框架，直接且初等推导其映射性质。
• 在Lipschitz边界上，分别给出三维与二维情形下单层势和双层势及其应力的显式表达式。

提出的方法

• 定义Günter导数$\mathcal{M}_{ij}^{(\boldsymbol{n})}u = n_j\partial_{x_i}u - n_i\partial_{x_j}u$，通过边界$\partial\Omega$上的法向量$\boldsymbol{n}$表示切向导数。
• 利用$\mathcal{M}_{ij}^{(\boldsymbol{n})}u = \boldsymbol{\nabla}u \cdot \boldsymbol{\tau}_{ij}$，其中$\boldsymbol{\tau}_{ij} = n_j\boldsymbol{e}_i - n_i\boldsymbol{e}_j$，将其解释为切平面上的方向导数。
• 利用迹和法向迹的性质，在Lipschitz区域上证明$\mathcal{M}_{ij}^{(\boldsymbol{n})}$从$H^s(\partial\Omega)$到$H^{s-1}(\partial\Omega)$的有界性，其中$0 \leq s \leq 1$。
• 将扩展后的Günter导数应用于弹性波势的迹和应力的正则化，将其分析约化为已知的Helmholtz层势性质。
• 通过标量势$V_{\kappa_p}, V_{\kappa_s}, N_{\kappa_s}$和$\mathcal{M}_{\bot}^{(\boldsymbol{n})}$，推导单层势$S\boldsymbol{p}$、双层势$K\boldsymbol{\psi}$及其应力$T^{(\boldsymbol{n})}S\boldsymbol{p}$、$T^{(\boldsymbol{n})}K\boldsymbol{\psi}$的显式分量公式。
• 提供双层势应力的替代表达式，结合混合导数与法向导数，验证其与已知积分恒等式的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Günter导数能否在经典正则性丧失的Lipschitz区域上实现有意义的扩展？
• RQ2 在Lipschitz边界上，Günter导数是否仍为从$H^s(\partial\Omega)$到$H^{s-1}(\partial\Omega)$的有界算子，其中$0 \leq s \leq 1$？
• RQ3 能否利用Günter导数将$\mathcal{C}^2$区域上弹性波势的正则化技术扩展至Lipschitz区域？
• RQ4 能否在不依赖高级椭圆系统理论的前提下，从Helmholtz方程的性质推导弹性层势的映射性质？
• RQ5 在Lipschitz边界上，三维与二维情形下弹性层势及其应力的显式分量表示是什么？

主要发现

• 在Lipschitz区域上，Günter导数$\mathcal{M}_{ij}^{(\boldsymbol{n})}$是从$H^s(\partial\Omega)$到$H^{s-1}(\partial\Omega)$的有界算子，其中$0 \leq s \leq 1$，从而恢复了损失的半阶正则性。
• 切向导数结构$\mathcal{M}_{ij}^{(\boldsymbol{n})}u = \boldsymbol{\nabla}u \cdot \boldsymbol{\tau}_{ij}$确保了Günter导数在Lipschitz边界上即使在$L^2(\partial\Omega)$中也定义良好且有界。
• 通过Günter导数实现了Lipschitz区域上弹性波势的正则化，使得基于$\mathcal{C}^2$区域的技术可推广至正则性较低的区域。
• 单层势的应力$T^{(\boldsymbol{n})}S\boldsymbol{p}$被表示为$V_{\kappa_p}, V_{\kappa_s}, S_\bot$和$\mathcal{M}_{\bot}^{(\boldsymbol{n})}$的法向导数与切向导数之和，并给出了显式的分量分解。
• 双层势的应力$T^{(\boldsymbol{n})}K\boldsymbol{\psi}$存在两种等价表达形式：一种涉及$\mathcal{M}_{\bot}^{(\boldsymbol{n})}$与法向导数，另一种使用$V_{\kappa_s}$的二阶切向导数与法向导数。
• 提供了二维情形的显式公式，表明该理论不仅适用于三维，也适用于具有Lipschitz边界的平面弹性波问题。