[论文解读] Extension theorem and representation formula in non-axially symmetric domains for slice regular functions

Xinyuan Dou, Guangbin Ren+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2020

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 19被引用 8

一句话总结

本文引入了切片拓扑作为四元数上切片正则函数的自然拓扑，证明其比欧氏拓扑更精细，且更适用于四元数的切片结构。它在一般切片定义域中建立了延拓定理和表示公式，表明经典结果在轴对称定义域中的结论并不普遍成立，并引入了路径-切片函数以在非轴对称情形下恢复关键性质。

ABSTRACT

Slice analysis is a generalization of the theory of holomorphic functions of one complex variable to quaternions. Among the new phenomena which appear in this context, there is the fact that the convergence domain of $f(q)=Σ_{n\in\mathbb{N}}(q-p)^{*n} a_n$, given by a $σ$-ball $Σ(p,r)$, is not open in $\mathbb{H}$ unless $p\in\mathbb{R}$. This motivates us to investigate, in this article, what is a natural topology for slice regular functions. It turns out that the natural topology is the so-called slice topology, which is different from the Euclidean topology and nicely adapts to the slice structure of quaternions. We extend the function theory of slice regular functions to any domains in the slice topology. Many fundamental results in the classical slice analysis for axially symmetric domains fail in our general setting. We can even construct a counterexample to show that a slice regular function in a domain cannot be extended to an axially symmetric domain. In order to provide positive results we need to consider so-called path-slice functions instead of slice functions. Along this line, we can establish an extension theorem and a representation formula in a slice-domain.

研究动机与目标

• 识别四元数分析中切片正则函数的自然拓扑，挑战轴对称定义域为最大定义域的假设。
• 解决经典切片分析结果（如表示公式）在非轴对称定义域上失效的问题。
• 在切片拓扑下，将切片正则函数的函数理论推广至非轴对称定义域。
• 引入路径-切片函数作为标准切片函数的替代，以在一般定义域中恢复关键解析性质。
• 刻画切片正则性的定义域，并建立切片正则函数可全局延拓或表示的条件。

提出的方法

• 将 ℍ 上的切片拓扑定义为使所有切片投影连续的最粗拓扑，该拓扑严格优于欧氏拓扑。
• 利用切片书结构 ℍ = ⋃_{I∈𝕊} ℂ_I，将 σ-球 Σ(p,r) 定义为切片拓扑中的基本区域。
• 引入路径-切片函数作为切片函数的推广，使非轴对称定义域中也能建立延拓定理。
• 在每个复平面 ℂ_I 上应用复分析技巧，利用全纯延拓论证证明全局正则性。
• 利用恒等定理与切片连通性，证明切片正则函数在重叠定义域间具有唯一性与延拓性。
• 通过反证法证明 σ-球 Σ(p,r) 是切片正则性定义域，即除非定义域为切片正则，否则全纯函数在边界点的延拓会导致矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 四元数分析中切片正则函数的自然拓扑是什么？它与欧氏拓扑有何不同？
• RQ2 经典切片正则函数的表示公式能否推广至非轴对称定义域？
• RQ3 为何标准切片函数理论在非轴对称定义域中失效？何种替代框架可恢复解析控制？
• RQ4 在何种条件下，定义在非轴对称定义域上的切片正则函数可延拓至更大定义域？
• RQ5 什么特征刻画了切片正则性定义域？它与 σ-球和路径-切片函数的关系如何？

主要发现

• 切片拓扑严格优于欧氏拓扑，为切片正则函数提供了自然框架。
• σ-球 Σ(p,r) 是切片正则性定义域，即 Σ(p,r) ∩ ℂ_I 上的全纯函数无法在不破坏切片正则性的情况下延拓至边界之外。
• 在一般非轴对称定义域上，表示公式不成立，且轴对称定义域并非切片正则函数的最大定义域。
• 构造了一个反例，表明非轴对称定义域上的切片正则函数并不总能延拓至轴对称定义域。
• 路径-切片函数使在一般切片定义域中恢复延拓与表示定理成为可能，替代了标准切片函数。
• 恒等定理与切片连通性确保切片正则函数由其在重叠切片分量上的取值唯一确定，从而在适当条件下实现全局延拓。