[论文解读] Extensions of Bougerol's identity in law and the associated anticipative path transformations

Yuu Hariya|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文将Bougerol的分布恒等式推广至涉及布朗运动预知路径变换的过程级恒等式，引入了一类依赖于指数泛函At的新变换Tz。核心贡献是建立了一个类似Girsanov的公式，将变换后布朗路径的分布与包含双曲函数和At的Radon-Nikodym密度联系起来，该公式推广了经典恒等式，并与Malliavin微积分建立了联系。

ABSTRACT

Let $B=\{ B_{t}\} _{t\ge 0}$ be a one-dimensional standard Brownian motion and denote by $A_{t},\,t\ge 0$, the quadratic variation of the geometric Brownian motion $e^{B_{t}},\,t\ge 0$. Bougerol's celebrated identity (1983) asserts that, if $\beta =\{ \beta (t)\} _{t\ge 0}$ is another Brownian motion independent of $B$, then $\beta (A_{t})$ is identical in law with $\sinh B_{t}$ for every fixed $t>0$. In this paper, we extend Bougerol's identity to an identity in law for processes up to time $t$, which exhibits a certain invariance of the law of Brownian motion. The extension is described in terms of anticipative transforms of $B$ involving $A_{t}$ as an anticipating factor. A Girsanov-type formula for those transforms is shown. An extension of a variant of Bougerol's identity is also presented.

研究动机与目标

• 将Bougerol的分布恒等式从固定时间的边缘分布推广至完整的路径过程。
• 构建依赖于几何布朗运动二次变差At的预知路径变换Tz。
• 为变换后布朗路径的分布建立Girsanov型公式。
• 探讨这些变换与Malliavin微积分之间的联系，特别是通过Skorokhod积分。
• 推广已知的涉及指数泛函At的恒等式，包括Dufresne恒等式及Bougerol恒等式的变体。

提出的方法

• 定义路径变换 Tz(φ)(s) = φs − log[1 + As(φ)/At(φ) (ez − 1)]，其中 s ∈ [0,t]，使用指数泛函 At(φ) = ∫₀ᵗ e²φs ds。
• 证明过程 Tz(B)t−Argsh(eBt sinh x + β(At))(B) 在分布上等于布朗运动 {Bs}₀≤s≤t，从而将Bougerol恒等式推广至过程层面。
• 推导Girsanov型公式：E[F(Tz(B)) ] = E[ exp{(cosh Bt − cosh(z + Bt))/Zt} F(B) ]，其中 Zt = e−Bt At。
• 利用Cameron–Martin关系及Zt的扩散性质，将结果推广至停时τ。
• 通过证明变换的导数与Skorokhod积分的关系，将结果与Malliavin微积分联系起来：δ(∫₀ᵗ e²Bs ds / At) = sinh Bt / Zt。
• 将该框架应用于证明Bougerol恒等式的一个新变体，涉及Rademacher随机变量ε及带 drift 的布朗运动的 hitting times。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bougerol的分布恒等式能否从固定时间的边缘分布推广至完整的路径过程？
• RQ2 依赖于指数泛函At的预知路径变换Tz的结构是什么？
• RQ3 如何为这类变换推导Girsanov型公式，且Radon-Nikodym密度的显式形式为何？
• RQ4 这些变换与Malliavin微积分之间存在何种联系，特别是通过Skorokhod积分？
• RQ5 该框架能否用于推导涉及 hitting times 与指数泛函的新恒等式，例如 β(A(1)t) = sinh B(ε)t？

主要发现

• 对任意固定的 x ∈ ℝ，过程 Tx+Bt−Argsh(eBt sinh x + β(At))(B) 在分布上等于 {Bs}₀≤s≤t，从而将Bougerol恒等式推广至过程层面。
• 建立了Girsanov型公式：E[F(Tz(B))] = E[exp{(cosh Bt − cosh(z + Bt))/Zt} F(B)]，其中 Zt = e−Bt At。
• 恒等式 E[F(B)] = E[exp{(cosh Bt − cosh(z + Bt))/Zt} F(T−z(B))] 成立，表明变换之间存在对偶性。
• 对 µ > 0，B(−µ) 的分布关于变换 T∗z（其中 z = log(2γµ A(−µ)∞)，且 γµ ∼ Gamma(µ)）保持不变。
• 证明了恒等式 (β(A(1)t), e−2B(1)t At, Z(1)t) (d) = (sinh B(ε)t, τ₁( ̂B(cosh B(ε)t / Z(ε)t)), Z(ε)t)，该恒等式推广了Bougerol恒等式的一个变体。
• 验证了 Skorokhod 积分关系：δ(∫₀ᵗ e²Bs ds / At) = sinh Bt / Zt，确认了与Malliavin微积分的联系，并通过导数计算验证了Girsanov公式的正确性。