[论文解读] Extensions of diffeomorphism and current algebras

T. A. Larsson|ArXiv.org|Feb 7, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文回顾并扩展了Dzhumadil’daev对微分同胚代数$\mathfrak{diff}(N)$及其子代数（无散度、哈密顿、接触向量场）张量模扩张的分类，使用显式的张量记法以澄清17种通用示例中17个示例的物理友好型解释。主要贡献在于表明，除非平凡的Virasoro和Mickelsson-Faddeev扩张外，所有此类示例均源于由共形权重$λ$参数化的平凡示例的极限，而后者由于闭链条件而具有几何上的独立性。

ABSTRACT

Dzhumadil'daev has classified all tensor module extensions of $diff(N)$, the diffeomorphism algebra in $N$ dimensions, and its subalgebras of divergence free, Hamiltonian, and contact vector fields. I review his results using explicit tensor notation. All of his generic cocycles are limits of trivial cocycles, and many arise from the Mickelsson-Faddeev algebra for $gl(N)$. Then his results are extended to some non-tensor modules, including the higher-dimensional Virasoro algebras found by Eswara Rao/Moody and myself. Extensions of current algebras with $d$-dimensional representations are obtained by restriction from $diff(N+d)$. This gives a connection between higher-dimensional Virasoro and Kac-Moody cocycles, and between Mickelsson-Faddeev cocycles for diffeomorphism and current algebras.

研究动机与目标

• 使用显式张量记法，为物理学家提供Dzhumadil’daev对$\mathfrak{diff}(N)$及其子代数的张量模扩张分类的物理友好型回顾。
• 将分类扩展至张量模之外，包括高维Virasoro代数和当前代数扩张。
• 阐明示例的上同调性质，特别是区分那些作为平凡示例极限的示例与非平凡的Virasoro和Mickelsson-Faddeev扩张。
• 通过从$\mathfrak{diff}(N+d)$限制，建立高维Virasoro代数、Kac-Moody示例与Mickelsson-Faddeev代数之间的联系。

提出的方法

• 使用显式张量记法，将Dzhumadil’daev的抽象上同调分类以更易为物理学家理解的形式重新表达。
• 构造一个由共形权重$λ$参数化的平凡示例一维族，其极限$λ \to \lambda_0$产生非平凡扩张。
• 从$\mathfrak{diff}(N+d)$限制扩张至子代数（如$\mathrm{map}(N,\mathfrak{g})$和$\mathrm{map}(N,\mathfrak{diff}(d))$），从而将扩张提升至当前代数和高维Virasoro代数。
• 识别Virasoro和Mickelsson-Faddeev示例在上同调中为非平凡，因为它们并非平凡示例的极限。
• 通过闭链（一和三形式）的几何分析，解释为何Virasoro和MF扩张不位于平凡示例的闭包中。
• 通过追溯至全空间代数中的已知非平凡扩张，验证子代数扩张的非平凡性与完备性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Dzhumadil’daev对$\mathfrak{diff}(N)$张量模扩张的分类，以更易理解的张量形式重新表达，以供物理学家使用？
• RQ2 Dzhumadil’daev分类中的17种通用示例中，哪些是平凡示例的极限？这对它们的上同调地位有何含义？
• RQ3 能否通过从$\mathfrak{diff}(N+d)$限制构造高维Virasoro代数和当前代数扩张？它们与已知示例有何关联？
• RQ4 为何Virasoro和Mickelsson-Faddeev扩张不是平凡示例的极限（与其他示例不同）？其几何原因是什么？
• RQ5 是否存在Dzhumadil’daev、Ovsienko和Roger分类的一维示例的高维类比？它们是否具有物理意义？

主要发现

• Dzhumadil’daev的所有通用示例（包括立方、四次和五次类型）均可理解为共形权重$λ$参数化的连续族中平凡示例的极限，极限在临界值$λ_0$处取值。
• Virasoro和Mickelsson-Faddeev（MF）扩张在几何上是不同的，因为它们涉及闭链（一和三形式），因此并非平凡示例的极限。
• Eswara Rao和Moody的高维Virasoro代数，以及具有$d$维表示的当前代数扩张，均通过从$\mathfrak{diff}(N+d)$限制构造，从而在微分同胚代数与Kac-Moody示例之间建立了直接联系。
• 在$DRO(N)$代数中，四个不等价的Virasoro型示例（对应$ψ^W_1$至$ψ^W_4$）被证明是非平凡的，并对应于不同的Fock模结构。
• $ψ^W_3$和$ψ^W_4$示例仅在混合项$c(\xi,f)$和$c(f,g)$上非零，被识别为标准Virasoro示例的推广，在上同调中并非平凡。
• 通过从$\mathfrak{diff}(N+d)$限制构造，其本身即保证了所有可提升至全空间中张量模扩张的子代数扩张的完备性，确保了此类扩张的完整性。