[论文解读] Extensions of Euler Type Sums and Ramanujan Type Sums

Ce Xu|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2020

Advanced Mathematical Identities参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文引入了一种新的参数化ψ函数，并运用围道积分与留数定理，推广了欧拉型求和与拉马努金型恒等式。该研究通过推导参数化的双曲级数恒等式，包括广义的西塔拉马钱德拉罗公式，扩展了弗拉杰奥莱特与萨利维的工作，并以黎曼ζ函数和多ψ函数显式计算了非线性欧拉和与交错欧拉和。

ABSTRACT

We define a new kind of classical digamma function, and establish its some fundamental identities. Then we apply the formulas obtained, and extend tools developed by Flajolet and Salvy to study more general Euler type sums. The main results of Flajolet and Salvy's paper \cite{FS1998} are the immediate corollaries of main results in this paper. Furthermore, we provide some parameterized extensions of Ramanujan-type identities that involve hyperbolic series. Some interesting new consequences and illustrative examples are considered.

研究动机与目标

• 通过引入一种新的参数化ψ函数，推广弗拉杰奥莱特与萨利维关于欧拉求和的框架。
• 将他们的基于留数的方法扩展至非线性与交错欧拉求和，突破原始奇偶性条件的限制。
• 推导涉及双曲函数与ζ值的类拉马努金恒等式的参数化版本。
• 以ζ函数、多ψ函数与调和级数显式计算广义欧拉求和。
• 将已知结果（如西塔拉马钱德拉罗公式）统一并推广至更广泛的参数化框架。

提出的方法

• 为具有次线性增长的序列A定义一种新的参数化ψ函数Ψ(−s; A)，推广经典ψ函数。
• 在复平面上应用围道积分，结合新ψ函数，计算涉及调和数与ζ值的求和。
• 通过计算二阶极点与单极点的留数，推导广义欧拉求和的闭式表达。
• 引入适用于含序列A与B的亚纯函数的广义留数定理，导出含双曲余切函数项的恒等式。
• 通过将特定序列（如A₁ = 常数，A₂ = 交错序列）代入通式，推导参数化恒等式。
• 利用已知的coth与sinh函数恒等式，结合级数展开，简化并验证所得结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何推广经典ψ函数，以实现对更复杂欧拉型求和的计算？
• RQ2 如何利用围道积分推导涉及双曲级数的拉马努金型恒等式的参数化扩展？
• RQ3 新参数化ψ函数在何种方式下可将非线性欧拉求和约化为低阶求和？
• RQ4 所推导的恒等式如何推广西塔拉马钱德拉罗公式及其他文献中的已知结果？
• RQ5 能否使用所提方法显式计算包含调和项与交错调和项的交错欧拉求和？

主要发现

• 新参数化ψ函数使广义留数公式得以推导，将弗拉杰奥莱特与萨利维的结果推广至任意序列A与B。
• 本文建立了西塔拉马钱德拉罗公式的参数化版本，当A = B = A₁时可恢复为特例。
• 推导出新恒等式(5.47)，适用于满足αβ = π²的参数α与β的余切与双曲余切乘积。
• 推论5.8将经典拉马努金型恒等式π/2 cot(√wα)coth(√wβ)作为主公式特例恢复。
• 推论5.9通过设定A = B = A₂（交错序列）导出一个新颖的涉及sinh与交错符号的恒等式。
• 该方法成功计算了高权与高次广义欧拉求和，表明此类求和可约化为ζ函数与多ψ函数的组合。