[论文解读] Extensions of McCoy Rings

Zhiling Ying, Jianlong Chen+1 more|ArXiv.org|Aug 14, 2007

Rings, Modules, and Algebras参考文献 8被引用 15

一句话总结

本文研究了在各种环扩张下 McCoy 性质的稳定性，证明了当 $ n \geq 2 $ 时，矩阵环 $ M_n(R) $ 和上三角矩阵环 $ T_n(R) $ 即使在 $ R $ 是 McCoy 环的情况下也永远不是 McCoy 环。本文建立了 McCoy 性质在多项式环、洛朗多项式环以及满足特定条件的分式环中可上提的结论，提供了对保持 McCoy 条件的扩张的全面分类。

ABSTRACT

A ring $R$ is said to be right McCoy if the equation $f(x)g(x)=0,$ where $f(x)$ and $g(x)$ are nonzero polynomials of $R[x],$ implies that there exists nonzero $s \in R$ such that $f(x)s = 0$. It is proven that no proper (triangular) matrix ring is one-sided McCoy. If there exists the classical right quotient ring $Q$ of a ring $R$, then $R$ is right McCoy if and only if $Q$ is right McCoy. It is shown that for many polynomial extensions, a ring $R$ is right McCoy if and only if the polynomial extension over $R$ is right McCoy. Other basic extensions of right McCoy rings are also studied.\leftskip0truemm ightskip0truemm \{\it Keywords}: matrix ring, McCoy ring, polynomial ring, upper triangular matrix ring.

研究动机与目标

• 确定 McCoy 性质是否在莫里塔等价下保持不变，特别是在矩阵环构造中。
• 研究 McCoy 性质在多项式扩张中的行为，包括 $ R[x] $、$ R[x;x^{-1}] $、$ R[x]/(x^n) $ 和多元多项式环。
• 考察一个环与其经典右分式环之间关于 McCoy 性质的关系。
• 提供扩展 McCoy 环仍保持 McCoy 性质的充分条件，并识别出该性质不成立的反例。

提出的方法

• 通过构造显式的反例，证明当 $ n \geq 2 $ 时，$ M_n(R) $ 和 $ T_n(R) $ 均不是右 McCoy 或左 McCoy。
• 构造一族矩阵 $ f(x), g(x) \in M_n(R)[x] $，使得 $ f(x)g(x) = 0 $，但不存在非零 $ s \in M_n(R) $ 满足 $ f(x)s = 0 $。
• 利用中心正则元素和乘法子集的概念，将 McCoy 性质扩展到局部化，特别是 $ \Delta^{-1}R $，其中 $ \Delta = \{1, x, x^2, \dots\} $。
• 应用数学归纳法与约化技巧，证明若 $ R $ 是右 McCoy 环，则 $ R[x_1, \dots, x_k] $ 也是右 McCoy 环。
• 分析斜多项式环 $ R[x;\alpha]/(x^n) $ 和 $ R[x;\alpha] $，以确定在自同态作用下 McCoy 性质何时得以保持。
• 利用关于 Armendariz 环和可逆环的已知结果，比较并区分 McCoy 性质与相关环论条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在矩阵环扩张下，特别是当 $ n \geq 2 $ 时，$ M_n(R) $ 和 $ T_n(R) $ 的 McCoy 性质是否保持？
• RQ2 在何种条件下，McCoy 性质可从环 $ R $ 上提至其多项式扩张 $ R[x] $、$ R[x;x^{-1}] $ 和 $ R[x]/(x^n) $？
• RQ3 若环 $ R $ 存在经典右分式环 $ Q $，是否意味着 $ R $ 是右 McCoy 当且仅当 $ Q $ 是右 McCoy？
• RQ4 在斜多项式环 $ R[x;\alpha]/(x^n) $ 中，McCoy 性质是否可保持，以及自同态 $ \alpha $ 发挥何种作用？
• RQ5 是否存在 $ R $ 是 McCoy 环但 $ R[x;\alpha] $ 不是 McCoy 环的情况，即使 $ \alpha $ 是自同构？

主要发现

• 对于任意环 $ R $ 和 $ n \geq 2 $，矩阵环 $ M_n(R) $ 既不是左 McCoy 也不是右 McCoy，通过构造显式多项式 $ f(x), g(x) \in M_n(R)[x] $ 满足 $ f(x)g(x) = 0 $，但不存在非零 $ s \in M_n(R) $ 使得 $ f(x)s = 0 $。
• 类似地，当 $ n \geq 2 $ 时，上三角矩阵环 $ T_n(R) $ 也既不是左 McCoy 也不是右 McCoy，使用在上三角结构中构造的类比反例。
• 若 $ R $ 是右 McCoy 环，则多项式环 $ R[x] $ 也是右 McCoy 环，且通过归纳法可推广至多元多项式环 $ R[\{x_\alpha\}] $。
• 若经典右分式环 $ Q $ 存在，则 $ Q $ 是右 McCoy 当且仅当 $ R $ 是右 McCoy，这表明在局部化下具有强保持性质。
• 对于环 $ R $ 的刚性自同态 $ \alpha $，斜多项式环 $ R[x;\alpha]/(x^n) $ 是 McCoy 环；若 $ R $ 是 $ \alpha $-刚性，则 $ R[x;\alpha] $ 是 McCoy 环。
• 存在交换的无平方因子环 $ R $ 和自同构 $ \alpha $，使得 $ R[x;\alpha] $ 既不是左 McCoy 也不是右 McCoy，表明 McCoy 性质并不总能扩展到斜多项式环。