[论文解读] Extensions of Positive Definite Functions: Applications and Their Harmonic Analysis

Palle E. T. Jørgensen, Steen Pedersen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2015

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 109被引用 6

一句话总结

本文研究了在局部紧群（特别是李群）的子集上定义的正定（p.d.）连续函数的延拓问题，及其与再生核希尔伯特空间（RKHS）中酉表示和自伴算子的联系。在广泛条件下证明了此类延拓的存在性，通过算子理论与谱测度提供了构造性方法，并揭示了RKHS的规范分解为原子、绝对连续和奇异连续三部分，重点研究了延拓集的极值点以及函数虚部的作用。

ABSTRACT

We study two classes of extension problems, and their interconnections: (i) Extension of positive definite (p.d.) continuous functions defined on subsets in locally compact groups $G$; (ii) In case of Lie groups, representations of the associated Lie algebras $La\left(G ight)$ by unbounded skew-Hermitian operators acting in a reproducing kernel Hilbert space (RKHS) $\mathscr{H}_{F}$. Why extensions? In science, experimentalists frequently gather spectral data in cases when the observed data is limited, for example limited by the precision of instruments; or on account of a variety of other limiting external factors. Given this fact of life, it is both an art and a science to still produce solid conclusions from restricted or limited data. In a general sense, our monograph deals with the mathematics of extending some such given partial data-sets obtained from experiments. More specifically, we are concerned with the problems of extending available partial information, obtained, for example, from sampling. In our case, the limited information is a restriction, and the extension in turn is the full positive definite function (in a dual variable); so an extension if available will be an everywhere defined generating function for the exact probability distribution which reflects the data; if it were fully available. Such extensions of local information (in the form of positive definite functions) will in turn furnish us with spectral information. In this form, the problem becomes an operator extension problem, referring to operators in a suitable reproducing kernel Hilbert spaces (RKHS). In our presentation we have stressed hands-on-examples. Extensions are almost never unique, and so we deal with both the question of existence, and if there are extensions, how they relate back to the initial completion problem.

研究动机与目标

• 解决在局部紧群上将局部定义的正定函数延拓为全局定义函数的数学难题。
• 通过再生核希尔伯特空间（RKHS）将此类延拓与酉表示及谱理论联系起来。
• 分析所有可能延拓构成的空间结构，特别是识别极值点及其与函数虚部的依赖关系。
• 将结果推广至无穷维情形，并探讨与概率论及随机过程的联系。
• 提供显式构造与实例，包括RKHS分解为原子、绝对连续与奇异连续子空间。

提出的方法

• 利用博赫纳定理将连续正定函数表征为有限正测度的傅里叶变换，从而将延拓问题置于调和分析的框架中。
• 应用酉表示理论与投影值测度（PVM）理论，为每个正定函数的延拓关联一个群G的酉表示。
• 利用与正定函数F相关的RKHS的结构，分析底层希尔伯特空间的谱分解，划分为原子、绝对连续与奇异连续部分。
• 运用算子理论技术，包括自伴与斜厄米特延拓，特别关注G = ℝ情形下的亏指数(1,1)。
• 借助克雷因与德布兰吉斯关于算子延拓的结果，对ℝ上的所有正定延拓进行分类，将算子延拓理论与正定函数延拓联系起来。
• 分析函数F的虚部在决定延拓集Ext(F)结构中的作用，特别是与RKHS中关联的斜厄米特算子D^(F)的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在局部紧群的子集上定义的连续正定函数在何种条件下可延拓至整个群？
• RQ2 所有正定延拓构成的凸集中，极值点如何与原函数的虚部相关？
• RQ3 与正定函数相关的再生核希尔伯特空间的谱分解是什么？其组成部分（原子、绝对连续、奇异连续）如何由群表示导出？
• RQ4 RKHS中斜厄米特算子D^(F)的性质如何依赖于函数F的虚部？
• RQ5 延拓理论对无穷维情形有何影响，特别是在与概率论及分数布朗运动等随机过程的关系方面？

主要发现

• 对于ℝⁿ的有界开子集上任意连续正定函数，均存在至少一个连续正定延拓至整个ℝⁿ。
• 与正定函数F相关的再生核希尔伯特空间ℋ_F可进行规范正交分解为三个子空间：ℋ_F^(atom)、ℋ_F^(ac) 与 ℋ_F^(sing)，分别对应于关联谱测度的原子、绝对连续与奇异连续部分。
• 构造了一个显式例子，其中RKHS分解的三部分均非零——具体而言，原子部分为一维，其余两部分为无穷维。
• 所有正定延拓的集合Ext(F)是一个紧致凸集，其极值点可通过F的虚部及关联的斜厄米特算子D^(F)来表征。
• 对于G = ℝ的情形，所有正定延拓可通过亏指数为(1,1)的对称算子的自伴延拓进行分类，将问题与经典算子理论联系起来。
• 本文证明了对温和测度（例如|x|^g dx，其中1/2 < g < 1）可生成非连续的正定函数，且该延拓框架可适配于此类情形，从而将适用范围扩展至非有限测度。