[论文解读] Extensions of the class of multiplicative functions

Pentti Haukkanen|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2013

Advanced Mathematical Identities被引用 5

一句话总结

本文引入并分析了乘法函数的三种扩展——准乘法、半乘法和塞尔伯格乘法函数，以克服经典乘法函数在与算术运算复合时的局限性。研究证明，拉马努金求和及其关于普通整数的类比在第二个变量上是半乘法的，在两个变量上都是乘法的，从而提供了基于卷积的新表征和恒等式。

ABSTRACT

We consider the classes of quasimultiplicative, semimultiplicative and Selberg multiplicative functions as extensions of the class of multiplicative functions. We apply these concepts to Ramanujan's sum and its analogue with respect to regular integers (mod r).

研究动机与目标

• 为解决经典乘法函数在复合运算如 f(kn)、f(n/k) 和 f([k,n]) 下的不稳定性问题，引入广义函数类。
• 定义并表征准乘法、半乘法和塞尔伯格乘法函数，作为乘法函数的自然推广。
• 研究拉马努金求和及其关于模 r 的普通整数类比在乘法和半乘法性质方面的行为。
• 在数论函数的背景下，为这些扩展类建立基于卷积的恒等式和结构表征。

提出的方法

• 通过条件 c·f(mn) = f(m)f(n)（其中 m,n 互素，c = f(1)）引入准乘法函数，通过缩放推广经典乘法函数。
• 将半乘法函数定义为 f(n) = c·fₘ(n/a)，其中 fₘ 是乘法函数，且当 x 非整数时 fₘ(x) = 0，满足 f(a) ≠ 0 且当 a∤n 时 f(n) = 0。
• 通过恒等式 f(m)f(n) = f((m,n))f([m,n]) 对所有 m,n ∈ ℕ 表征半乘法函数。
• 通过因式分解 f(n) = ∏ₚ Fₚ(νₚ(n)) 应用塞尔伯格乘法函数，其中除有限多个 p 外均有 Fₚ(0) = 1。
• 使用单位卷积和狄利克雷卷积分析拉马努金求和及其普通整数类比的乘法结构。
• 采用标准分解和素数幂分解推导乘法性和半乘法性的显式公式与条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何扩展乘法函数类，以在 f(kn) 和 f([k,n]) 等复合下保持乘法行为？
• RQ2 准乘法、半乘法和塞尔伯格乘法函数的结构与表征性质是什么？
• RQ3 拉马努金求和 c_r(n) 在 n 上是否为半乘法？在何种条件下它是乘法或准乘法的？
• RQ4 关于模 r 的普通整数类比 c̄_r(n) 在 r 和 n 上是否表现出乘法或半乘法行为？
• RQ5 能否为 c_r(n) 和 c̄_r(n) 推导出反映其在两个变量上乘法结构的卷积恒等式？

主要发现

• 拉马努金求和 c_r(n) 在 r 上是乘法的，在 n 上是半乘法的，且满足 c_r(n) ≠ 0 的最小 n 为 r/γ(r)，其中 γ(r) 是 r 的不同素因子的乘积。
• c_r(n) 在 n 上为准乘法的当且仅当 r 是无平方因子数；在 n 上是乘法的当且仅当 r 是无平方因子数且 ω(r) 为偶数。
• 类比 c̄_r(n) 在 r 上是乘法的，在 n 上是半乘法的，且满足 c̄_r(n) ≠ 0 的最小 n 为 ∏_{p‖r} p。
• c̄_r(n) 在 n 上是乘法的当且仅当 r 是完全平方数或 r = 1；在 n 上为准乘法的当且仅当它在 n 上是乘法的。
• 对于互素的 m,n，恒等式 c_r(m)c_r(n) = μ(r)c_r(mn) 成立，其类比形式 c̄_r(m)c̄_r(n) = μ̄(r)c̄_r(mn) 也成立，其中 μ̄(r) = 1 当 r 是完全平方数或 r = 1，否则为 0。
• 函数 f(n,r) = c̄_r(n) 在两个变量上都是乘法的，满足 f(m,r)f(n,r) = f(1,r)f(mn,r) 对所有互素的 m,n 成立。