[论文解读] Exterior and evolutionary skew-symmetric differential forms and their role in mathematical physics

Л. И. Петрова|ArXiv.org|Oct 23, 2003

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 15被引用 12

一句话总结

本文引入了定义在度量形式非闭合的流形上的进化斜对称微分形式——作为闭合外微分形式的补充框架。通过以非恒等、退化的关系取代不变的、相同的关系，该理论通过守恒定律解释了离散跃迁、量子跃迁以及物理结构的起源，为场的形成提供了因果机制，并将光速识别为麦克斯韦方程组中的积分方向。

ABSTRACT

At present the theory of skew-symmetric exterior differential forms has been developed. The closed exterior forms possess the invariant properties that are of great importance. The operators of the exterior form theory lie at the basis of the differential and integral operators of the field theory. However, the theory of exterior forms, being invariant one, does not answer the questions related to the evolutionary processes. In the work the readers are introduced to the skew-symmetric differential forms that possess evolutionary properties. They were called evolutionary ones. The radical distinction between the evolutionary forms and the exterior ones consists in the fact that the exterior forms are defined on manifolds with closed metric forms, whereas the evolutionary forms are defined on manifolds with unclosed metric forms. The mathematical apparatus of exterior and evolutionary forms allows description of discrete transitions, quantum steps, evolutionary processes, generation of various structures. These are radically new possibilities of the mathematical physics. A role of exterior and evolutionary forms in the mathematical physics is conditioned by the fact that they reflect properties of the conservation laws and allow elucidate a mechanism of evolutionary processes in material media, which lead to formatting physical fields.

研究动机与目标

• 为解决闭合外微分形式在描述结构形成和量子跃迁等演化过程时的局限性。
• 基于非闭合的斜对称微分形式，建立一个数学框架，以描述非不变、演化的物理系统。
• 阐明守恒定律在通过非恒等演化关系生成物理场和流形中的作用。
• 阐明光速如何通过退化变换在麦克斯韦方程组中作为积分方向出现。
• 将不变（外）形式与演化（非闭合）形式统一为数学物理的完整数学工具。

提出的方法

• 引入定义在度量形式非闭合的流形上的进化微分形式，与闭合流形上的闭合外形式形成对比。
• 以非恒等关系、非共轭算子和退化变换为核心，构建数学工具，与外形式所依赖的恒等、共轭、非退化框架形成对立。
• 通过将矢量方程投影到与坡印廷矢量方向一致的方向，将理论应用于麦克斯韦方程组，从而导出微分形式关系。
• 识别出坡印廷矢量成为可观测闭合形式的条件：当非共轭力和能量项离散消失时，即 (Q^e dt + Q′i dl₁) = 0。
• 推导出积分方向 dl₁/dt = c 源于非共轭项的消失，使 c 成为解流形几何性质的光速。
• 将该框架应用于引力场，表明爱因斯坦方程源自三阶非恒等演化关系的退化变换，对应于伪黎曼空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在闭合外微分形式的适用范围之外，数学描述诸如量子跃迁和结构形成等演化过程？
• RQ2 进化形式的数学结构与外形式有何区别，特别是在闭合性、共轭性和退化性方面？
• RQ3 在麦克斯韦方程组中，坡印廷矢量在何种条件下成为可观测的闭合微分形式？
• RQ4 在进化微分形式的语境下，光速如何作为几何积分方向出现？
• RQ5 能否通过退化变换从非恒等演化关系推导出爱因斯坦场方程？

主要发现

• 坡印廷矢量仅在非共轭项 (Q^e dt + Q′i dl₁) 离散消失而非恒等消失时，才成为可观测的闭合形式，暗示存在离散跃迁。
• 积分方向 dl₁/dt = c 作为闭合形式 dS = 0 的结果出现，将光速识别为解流形的几何属性。
• 当 dI = 0 时，第二重对偶不变量 I 保持不变，且与 dS = 0 一起，确认了演化过程中守恒量的存在。
• 在非闭合流形上的进化形式导致非恒等关系，其退化变换产生恰当形式，从而可推导出爱因斯坦方程等物理定律。
• 从具有非零曲率的伪黎曼流形到黎曼空间的转变，对应于使演化关系恒等的退化变换的实现。
• 该理论通过守恒定律与非恒等演化关系，为物理场与结构的起源提供了因果机制，统一了不变与演化场论。