[论文解读] Exterior Schwarzschild initial data for degenerate apparent horizons

Albert Chau, Adam Martens|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文将 Mantoulidis-Schoen 的构造方法扩展至非非退化情形，证明了在 $ \mathbb{S}^2 $ 上任意光滑度量 $ g $ 满足 $ \lambda_1(-\Delta_g + K_g) = 0 $ 时，均可作为渐近平坦初值数据集中 ADM 质量可任意接近霍金质量 $ \sqrt{\text{area}(\mathbb{S}^2,g)/16\pi} $ 的退化视界。关键结果为：此类视界的 Bartnik 伪局部质量恰好等于该霍金质量，且 $ \lambda_1 \geq 0 $ 在时间对称、满足主导能量条件的设定下，是度量作为视界出现的充要条件。

ABSTRACT

In this note we show that if $g$ is a smooth Riemannian metric on $\mathbb{S}^2$ such that the first eigenvalue of the operator $L_g:=-Δ_g +K_g$ satisfies $λ_1(L_g)=0$ then $(\mathbb{S}^2, g)$ arises as an apparent horizon in an asymptotically flat initial data set with ADM mass arbitrarily close to the associated Hawking mass $\sqrt{ ext{area}(\mathbb{S}^2, g)/16π}$. In particular, this determines the Bartnik quasilocal mass (introduced by Bartnik \cite{Bartnik} in 1989) associated with $(\mathbb{S}^2, g)$ in this setting. We prove these by modifying the construction of Mantoulidis-Schoen \cite{MS} who proved the same results in the case $λ_1(L_g)>0$. It follows that $λ_1(g)\geq 0$ is necessary and sufficient for $(\mathbb{S}^2, g)$ to arise from an apparent horizon in an asyptotically flat space-time under the dominant energy condition and in the time symmetric setting, and that the Bartnik mass of the horizon is $\sqrt{ ext{area}(\mathbb{S}^2, g)/16π}$.

研究动机与目标

• 表征在时间对称、渐近平坦初值数据集中满足主导能量条件时，$ \mathbb{S}^2 $ 上光滑度量 $ g $ 作为视界出现的内在条件。
• 将 Mantoulidis-Schoen 构造方法从非退化情形（$ \lambda_1 > 0 $）推广至退化情形（$ \lambda_1 = 0 $）。
• 确定具有 $ \lambda_1 = 0 $ 的度量所生成的视界的 Bartnik 伪局部质量。
• 建立 $ \overline{\mathscr{M}_+} = AH $，其中 $ \overline{\mathscr{M}_+} $ 为满足 $ \lambda_1 \geq 0 $ 的度量集合，$ AH $ 为作为视界出现的度量集合。

提出的方法

• 在 $ \mathbb{S}^2 \times [0,1] $ 上构造一个度量的翘曲柱面，扩展度量 $ g $，并选择翘曲因子以保持 $ \lambda_1 = 0 $ 条件。
• 通过共形变形 $ g_t = e^{2tA w} g_* $（其中 $ A \geq 1/c $）在单位球度量 $ g_* $ 与 $ \lambda_1 < 0 $ 的度量之间连续插值，确保在某个中间值 $ t_0 $ 处 $ \lambda_1 = 0 $。
• 对连续映射 $ t \mapsto \lambda_1(g_t) $ 应用介值定理，证明在共形类中存在满足 $ \lambda_1 = 0 $ 的度量。
• 利用 Mantoulidis-Schoen 构造方法将柱面与外部史瓦西区域连接，确保标量曲率为非负且渐近平坦。
• 验证最终度量 $ G $ 中边界 $ \mathbb{S}^2 \times \{0\} $ 为外在最远、极小且严格平均凸。
• 利用黎曼-彭罗斯不等式，得出 ADM 质量可任意接近霍金质量 $ \sqrt{\text{area}/16\pi} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在时间对称、渐近平坦初值数据集中，若标量曲率为非负，$ \lambda_1(-\Delta_g + K_g) \geq 0 $ 是否为 $ \mathbb{S}^2 $ 上光滑度量 $ g $ 作为视界出现的充要条件？
• RQ2 是否可精确地使 $ \lambda_1 = 0 $ 的视界的 Bartnik 伪局部质量等于 $ \sqrt{\text{area}(\mathbb{S}^2,g)/16\pi} $？
• RQ3 Mantoulidis-Schoen 构造是否可推广至退化情形 $ \lambda_1 = 0 $，并保持 ADM 质量可任意接近霍金质量的能力？
• RQ4 能否将满足 $ \lambda_1 = 0 $ 的度量 $ g $ 扩展为具有非负标量曲率、极小边界且完备渐近平坦的三维流形？

主要发现

• 包含关系 $ \overline{\mathscr{M}_+} \subset AH $ 成立，即所有满足 $ \lambda_1(-\Delta_g + K_g) \geq 0 $ 的 $ \mathbb{S}^2 $ 上光滑度量 $ g $ 均可作为渐近平坦初值数据集中的视界出现。
• 任意此类视界 $ (\mathbb{S}^2, g) $ 的 Bartnik 伪局部质量恰好为 $ \sqrt{\text{area}(\mathbb{S}^2,g)/16\pi} $。
• 对任意 $ m > \sqrt{\text{area}(\mathbb{S}^2,g)/16\pi} $，存在一个光滑、渐近平坦的度量 $ G $ 定义在 $ \mathbb{S}^2 \times [0,\infty) $ 上，其 ADM 质量为 $ m $，标量曲率为非负，且 $ \partial M = \mathbb{S}^2 \times \{0\} $ 为外在最远极小曲面。
• 边界 $ \partial M $ 的第二基本形式为零，且对 $ t > 0 $，叶状球面 $ \mathbb{S}^2 \times \{t\} $ 严格平均凸。
• 当 $ t $ 足够大时，最终度量 $ G $ 与标准质量为 $ m $ 的史瓦西度量一致，从而保证渐近平坦性。
• 该构造依赖于从单位球度量到 $ \lambda_1 = 0 $ 度量的共形形变路径，利用连续性与介值定理实现所需的谱条件。