[论文解读] Externally definable sets and dependent pairs II

Artem Chernikov, Pierre Simon|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文通过建立有限集上类型的一致可定义性，并证明模型上公式非分叉实例可被有限多个不变类型覆盖，推进了对 NIP（依赖）理论的模型论理解。此外，本文表明命名一个小型 indiscernible 序列会保持 NIP，而命名一个大型序列则不会，并提供了在何种条件下通过添加谓词扩展理论可保持 NIP 的条件，包括在分离理论中引入 dnfcp’ 条件以刻画有界性。

ABSTRACT

We continue investigating the structure of externally definable sets in NIP theories and preservation of NIP after expanding by new predicates. Most importantly: types over finite sets are uniformly definable; over a model, a family of non-forking instances of a formula (with parameters ranging over a type-definable set) can be covered with finitely many invariant types; we give some criteria for the boundedness of an expansion by a new predicate in a distal theory; naming an arbitrary small indiscernible sequence preserves NIP, while naming a large one doesn't; there are models of NIP theories over which all 1-types are definable, but not all n-types.

研究动机与目标

• 在 NIP 理论中建立有限集上类型的一致可定义性，证实 Laskowski 的一个猜想。
• 分析公式在模型上的非分叉实例的结构，表明它们可被有限多个全局不变类型覆盖。
• 提供理论通过谓词扩展后有界性的充分条件，特别是在分离和稳定嵌入的设定下。
• 澄清命名 indiscernible 序列时 NIP 的保持性，区分小序列与大序列的情况。
• 研究在 NIP 理论中，1-类型可定义性是否蕴含 n-类型可定义性，并将 Marker-Steinhorn 型定理推广至模型。

提出的方法

• 利用 Alon-Kleitman 和 Matoušek 的 (p,k)-定理，为 NIP 理论中的外部可定义集建立一致诚实定义。
• 应用紧致性与组合论证，推导出有限集上类型的一致可定义性。
• 结合 [CK12] 中关于 NIP 理论中分叉的结果与一致诚实定义，证明非分叉实例可被有限多个不变类型覆盖。
• 引入 dnfcp’ 条件（可定义参数集的弱有限覆盖性质），以刻画谓词扩展下的有界性。
• 使用模型论概念如稳定嵌入、不变性以及诱导结构中消去量词的方法，分析命名子集上的诱导结构。
• 改编 Pillay 对 1-稳定嵌入集合的论证，证明在统一 (1,∞)-稳定嵌入条件下，模型上类型具有一致可定义性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 NIP 理论中，有限集上类型是否具有一致可定义性，从而证实 Laskowski 的猜想？
• RQ2 一个参数化于类型定义集的公式非分叉实例族，是否可被有限多个全局不变类型覆盖？
• RQ3 在何种条件下，通过谓词扩展分离的 NIP 理论可保持 NIP 与有界性？
• RQ4 命名一个小型 indiscernible 序列是否保持 NIP？当命名一个大型序列时会发生什么？
• RQ5 在模型上所有 1-类型可定义是否蕴含所有 n-类型可定义？

主要发现

• 在任意 NIP 理论中，有限集上类型具有一致可定义性（UDTFS），证实了 Laskowski 的猜想。
• 在模型上，任何参数化于类型定义集的公式非分叉实例族，可被有限多个全局 M-不变类型覆盖。
• 命名一个小型 indiscernible 序列（任意序类型）保持 NIP，并导致有界扩展。
• 命名一个大型 indiscernible 序列不会保持 NIP，且扩展不是有界的。
• 存在 NIP 理论的模型，其上所有 1-类型可定义，但并非所有 n-类型可定义，表明 1-类型可定义性不蕴含 n-类型可定义性。
• 若一个模型具有一致 (1,∞)-稳定嵌入，且诱导结构为玫瑰结构（rosy），则其为一致稳定嵌入，推广了 Marker-Steinhorn 定理至 NIP 理论。