[论文解读] Extinction time of a CB-processes with competition in a L\'evy random environment

Hélène Leman, Juan Carlos Pardo|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 1

一句话总结

本文研究了在 Lévy 随机环境中具有竞争的连续状态分支过程的灭绝时间。通过使用一种将该过程与由非负跳过程驱动的扰动 Feller 扩散联系起来的 Lamperti 类型变换，证明了在 Grey 条件和环境无漂移下，或在竞争机制满足技术可积性条件下，过程几乎必然在有限时间内灭绝，且通过 Riccati 方程推导出显式的拉普拉斯变换和期望值。

ABSTRACT

In this paper, we are interested on the extinction time of continuous state branching processes with competition in a L\'evy random environment. In particular we prove, under the so-called Grey's condition together with the assumption that the L\'evy random environment does not drift towards infinity, that for any starting point the process gets extinct in finite time a.s. Moreover if we replace the condition on the L\'evy random environment by a technical integrability condition on the competition mechanism, then the process also gets extinct in finite time a.s. and it comes down from infinity. Then the logistic case in a Brownian random environment is treated. Our arguments are base on a Lamperti-type representation where the driven process turns out to be a perturbed Feller diffusion by an independent spectrally positive L\'evy process. If the independent random perturbation is a subordinator then the process converges to a specified distribution; otherwise, it goes extinct a.s. In the latter case and following a similar approach to Lambert (Ann. Appl. Probab., 15(2):1506-1535, 2005.), we provide the expectation and the Laplace transform of the absorption time, as a functional of the solution to a Riccati differential equation.

研究动机与目标

• 分析在随机环境波动下具有竞争的连续状态分支过程几乎必然在有限时间内灭绝的问题。
• 确定此类过程从无穷大“下降”至有限值的条件，表明其快速收敛至灭绝。
• 通过引入独立的非负跳 Lévy 过程作为扰动，扩展现有 Feller 扩散结果。
• 利用 Riccati 微分方程显式推导吸收时间的拉普拉斯变换和期望值。
• 将该一般框架应用于布朗运动随机环境中的逻辑斯蒂情形，作为具体应用。

提出的方法

• 采用 Lamperti 类型表示法，将具有竞争的 CB 过程转化为由非负跳 Lévy 过程驱动的扰动 Feller 扩散。
• 基于驱动 Lévy 过程的性质（特别是其是否为子ordinator）分析变换后过程的长期行为。
• 应用受 Lambert（2005）启发的随机比较方法，推导吸收时间的拉普拉斯变换和期望值。
• 使用 Riccati 微分方程作为函数工具，刻画灭绝时间的拉普拉斯变换。
• 在两种不同条件下建立灭绝结果：Grey 条件下环境无漂移，以及竞争机制满足可积性条件。
• 区分由子ordinator 驱动的扰动（导致过程收敛至非退化极限分布）与非子ordinator 情况（导致过程几乎必然灭绝）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Lévy 随机环境中具有竞争的连续状态分支过程在何种条件下几乎必然在有限时间内灭绝？
• RQ2 作为随机扰动的非负跳 Lévy 过程如何影响该过程的灭绝行为？
• RQ3 过程在何时从无穷大“下降”？何种条件可确保该性质？
• RQ4 灭绝时间的拉普拉斯变换和期望值能否显式刻画？若能，其方法为何？
• RQ5 在布朗运动随机环境中，逻辑斯蒂 CB 过程在此框架下的行为如何？

主要发现

• 在 Grey 条件下，且假设 Lévy 随机环境不趋向无穷，则对任意初始种群规模，该过程几乎必然在有限时间内灭绝。
• 若竞争机制满足技术可积性条件，则过程同样几乎必然在有限时间内灭绝，并从无穷大“下降”。
• 当独立扰动为子ordinator 时，过程依分布收敛至非退化极限；否则，过程几乎必然灭绝。
• 吸收时间的拉普拉斯变换和期望值可显式表征为 Riccati 微分方程解的泛函。
• 在布朗运动随机环境中逻辑斯蒂情形被作为特例处理，验证了该一般灭绝结果在具体设定下的成立。
• Lamperti 类型变换成功地将具有竞争的 CB 过程的复杂动态简化为带 Lévy 噪声的更易处理的扩散过程。