[论文解读] Extra Dimensions: Will their Spinors Play a Role in the Standard Model?

Gert Roepstorff|ArXiv.org|Oct 9, 2003

International Science and Diplomacy参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文提出，一个世代的夸克和轻子可在具有黎曼几何的10维内部流形上统一为一个旋量场，通过构建4维狄拉克旋量与10维旋量的乘积旋量丛实现。该模型避免了镜像费米子，并将联合对称群 $SL(2,ℂ)×ackslash mathrmackslash{Spin}(10)$ 识别为新标准模型统一的候选者，其几何结构与卡拉比-丘类流形上的 $G$-结构相关联。

ABSTRACT

A question is addressed pertinent to models of fundamental fermions in a world of high dimensions. Tex extra compactified dimensions are needed to accommodate quarks and leptons of each generation in a single spinor space carrying a representation of the spin group Spin(10). We present arguments to support a special choice of the geometry.

研究动机与目标

• 探索额外维度是否能自然地将标准模型一个世代的费米子内容容纳于单个旋量表示中。
• 通过在内部流形上引入几何旋量结构，解决高维统一模型中镜像费米子缺失的问题。
• 通过将 $\mathrm{SU}(3)×\mathrm{SU}(2)×\mathrm{U}(1)$ 规范群嵌入如 $\mathrm{SO}(10)$ 的更大群中，利用旋量丛，为该规范群寻找几何起源。
• 提出一种特定几何结构——复5流形上的 $G$-结构，其全纯性匹配标准模型规范群。

提出的方法

• 将时空建模为乘积流形 $M = M_1 \times M_2$，其中 $M_1$ 为4维闵可夫斯基空间，$M_2$ 为紧致的10维内部黎曼流形。
• 在 $M$ 上构建旋量丛，作为4维狄拉克旋量与与 $M_2$ 相关的10维旋量的张量积，利用 $M_2$ 上的克利福德代数与旋量结构。
• 使用外代数 $\bigwedge \mathbb{C}^5$ 作为夸克和轻子的表示空间，其自然承载 $G = S(U(3)\times U(2))$ 的可约表示。
• 将规范群 $G$ 识别为 $\mathrm{SO}(10)$ 的子群，并将其嵌入 $\mathrm{Spin}(10)$，以在单个旋量场中统一费米子。
• 在复5流形上引入由度量 $g$、凯勒形式 $\omega$、全纯体积形式 $\Omega$ 和 $(n-1,n-1)$-形式 $\Theta$ 定义的 $G$-结构，以保持标准模型规范群。
• 证明保持 $g$、$\omega$、$\Omega$ 和 $\Theta$ 的群同构于 $S(U(m)\times U(m))$ 或 $S(U(m+1)\times U(m))$（当 $n=2m$ 或 $n=2m+1$ 时），在 $n=5$ 时与标准模型规范群匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不引入镜像费米子的情况下，将标准模型一个世代的费米子统一于高维流形上的单个旋量表示中？
• RQ2 在内部流形 $M_2$ 上何种几何结构能自然地导出规范群 $\mathrm{SU}(3)\times\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{U}(1)$？
• RQ3 在乘积流形 $M_1 \times M_2$ 上的旋量丛如何通过外代数 $\bigwedge \mathbb{C}^5$ 实现标准模型费米子内容？
• RQ4 复5流形上的 $G$-结构在从高维几何实现标准模型规范对称性中起何种作用？
• RQ5 联合对称群 $SL(2,\mathbb{C})\times\mathrm{Spin}(10)$ 是否可作为新标准模型统一理论中的基本对称性出现？

主要发现

• 需要10个额外维度，才能将一个世代的费米子嵌入单个旋量空间，其中内部流形 $M_2$ 为具有旋量结构的10维黎曼流形。
• 一个世代的费米子内容自然地统一于 $\bigwedge \mathbb{C}^5$ 表示空间中，该空间承载规范群 $G = S(U(3)\times U(2))$ 的可约表示。
• 该模型通过将旋量场构造为4维狄拉克旋量与与 $M_2$ 几何相关的10维旋量的乘积，而非通过 orbifolding，避免了镜像费米子。
• 联合对称群 $SL(2,\mathbb{C})\times\mathrm{Spin}(10)$ 作为统一的候选者出现，其中 $\mathrm{Spin}(10)$ 作用于内部旋量空间。
• 具有由形式 $g$、$\omega$、$\Omega$ 和 $\Theta$ 定义的 $G$-结构的复5流形，将标准模型规范群 $\mathrm{SU}(3)\times\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{U}(1)$ 实现为保持全纯性的子群。
• 当 $n=5$ 时，保持四重形式的群为 $S(U(3)\times U(2))$，与标准模型规范群匹配，表明规范对称性具有几何起源。