[论文解读] Extrapolation-based implicit-explicit general linear methods

Angelamaria Cardone, Z. Jackiewicz+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2013

Numerical methods for differential equations参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于外推的构造方法，用于构建高阶隐-显一般线性方法（IMEX GLMs），以求解刚性微分方程，并将方程自然地划分为刚性与非刚性部分。通过利用高阶阶段的GLMs与外推技术，该方法实现了最优稳定性并避免了阶数降低问题，数值结果在二维测试问题上验证了其精度与效率。

ABSTRACT

For many systems of differential equations modeling problems in science and engineering, there are natural splittings of the right hand side into two parts, one non-stiff or mildly stiff, and the other one stiff. For such systems implicit-explicit (IMEX) integration combines an explicit scheme for the non-stiff part with an implicit scheme for the stiff part. In a recent series of papers two of the authors (Sandu and Zhang) have developed IMEX GLMs, a family of implicit-explicit schemes based on general linear methods. It has been shown that, due to their high stage order, IMEX GLMs require no additional coupling order conditions, and are not marred by order reduction. This work develops a new extrapolation-based approach to construct practical IMEX GLM pairs of high order. We look for methods with large absolute stability region, assuming that the implicit part of the method is A- or L-stable. We provide examples of IMEX GLMs with optimal stability properties. Their application to a two dimensional test problem confirms the theoretical findings.

研究动机与目标

• 开发适用于刚性与非刚性分量组合系统的高阶IMEX GLM对。
• 克服传统IMEX方法中常见的阶数降低问题。
• 通过构造具有大绝对稳定区域的方法，确保最优稳定性特性。
• 提供适用于大规模科学与工程模拟的实际高阶阶段IMEX GLM。
• 通过二维对流-扩散-反应问题的数值实验验证理论结果。

提出的方法

• 采用基于外推的构造技术，从具有高阶阶段的底层GLMs出发，生成高阶IMEX GLM对。
• 应用分区GLM框架，其中非刚性部分显式处理，刚性部分隐式处理。
• 采用 $ p $ 阶插值公式，以确保外推阶段的一致性与精度。
• 对所得IMEX GLM施加阶条件与阶段阶条件，以保证 $ p $ 阶精度及阶段阶 $ q = p $ 或 $ p-1 $。
• 分析线性稳定性，并构造隐式部分具有 $ A $-稳定性或 $ L $-稳定性的方法，以确保对刚性问题的鲁棒性。
• 通过两步法推导该方法：首先构造显式外推格式，然后通过共享系数与节点，将其与隐式GLM部分结合。

实验结果

研究问题

• RQ1 外推是否可有效用于构造具有最优稳定性特性的高阶IMEX GLM对？
• RQ2 所提出的算法是否如传统IMEX方法中常见的情况那样，在刚性问题中避免了阶数降低？
• RQ3 高阶阶段对IMEX GLM的阶条件与稳定性有何影响？
• RQ4 所构造的IMEX GLM的稳定性区域与现有方法相比如何？
• RQ5 该方法是否能在真实的二维对流-扩散-反应问题上保持高精度与高效性？

主要发现

• 所提出的基于外推的IMEX GLM构造方法实现了最优稳定性特性，所构造的方法表现出较大的绝对稳定区域。
• 由于具有高阶阶段，该方法无需额外的耦合阶条件，从而简化了构造过程。
• 该方法避免了其他IMEX多阶段方法中常见的阶数降低问题，尤其在刚性问题中表现显著。
• 在二维测试问题上的数值实验验证了理论精度阶数与方法的高效性。
• 理论分析与数值结果表明，该方法即使在处理刚性分量时，仍能保持高阶精度与稳定性。
• 该方法在由PDE空间半离散化产生的大规模系统中具有实际应用价值与高效性。