[论文解读] Extrapolation of compactness on weighted spaces II: Off-diagonal and limited range estimates

Tuomas Hytönen, Stefanos Lappas|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2020

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 33被引用 7

一句话总结

本文将线性算子在加权勒贝格空间上的紧致性外推推广至非对角线和有限范围情形，推广了Hytönen（2020）的先前结果。通过适配插值理论并利用线性算子的紧致性准则，作者证明了：在单一加权空间上的紧致性可推出在整个加权$L^p$空间范围内均保持紧致性，从而恢复并扩展了关于分数阶积分的换位子、伪微分算子以及博赫纳-里斯乘子的已有结果。

ABSTRACT

In a previous paper by one of us, a "compact version" of Rubio de Francia's weighted extrapolation theorem was proved, which allows one to extrapolate the compactness of an operator from just one space to the full range of weighted spaces, where this operator is bounded. In this paper, we obtain generalizations of this extrapolation of compactness for operators that are bounded from one space to a different one ("off-diagonal estimates") or only in a limited range of the $L^p$ scale. As applications, we easily recover recent results on the weighted compactness of commutators of fractional integrals and pseudo-differential operators, and obtain new results about the weighted compactness of Bochner--Riesz multipliers.

研究动机与目标

• 将紧致性外推从单权重情形推广至非对角线和有限范围的算子设定。
• 将紧致性外推原理扩展至从$L^p(w^p)$到$L^q(w^q)$有界且满足$p \neq q$的算子。
• 为证明换位子和博赫纳-里斯乘子等算子的加权紧致性，提供一个统一的框架。
• 通过基于插值的方法，恢复并加强近期关于伪微分算子换位子和分数阶积分的加权紧致性结果。

提出的方法

• 通过结合加权范数不等式与插值理论，将Rubio de Francia的外推框架适配于紧致性问题。
• 通过实插值方法对空间$L^p(w^p)$进行处理，将Cwikel–Kalton的抽象紧致性外推定理应用于加权勒贝格空间。
• 利用加权反向霍尔德不等式和$A_{p,q}$类，刻画出紧致性得以保持的完整权重范围。
• 采用加权$A_p^\zeta(\varphi)$类，其中$\varphi(t) = 1 + t$，以在外部推过程中处理全局权重。
• 将外推结果应用于Calderón–Zygmund算子及其换位子，通过符号的$CMO$条件实现。
• 依赖于如下事实：若算子在所有$p \in (1,\infty)$和$w \in A_p^\zeta(\varphi)$的$L^p(w)$空间上有界，且在某个无权重的$L^{p_1}$空间上紧致，则其在所有加权$L^p(w)$空间上均紧致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将算子在单个加权$L^p$空间上的紧致性外推至所有满足$p \in (1,\infty)$和$w \in A_p^\zeta(\varphi)$的$L^p(w)$空间？
• RQ2 紧致性外推是否可扩展至在不同勒贝格空间之间有界的算子，即从$L^p(w^p)$到$L^q(w^q)$且满足$p \neq q$的情形？
• RQ3 紧致性外推原理能否应用于仅在$(1,\infty)$的子区间内有界的有限范围有界算子？
• RQ4 该框架能否恢复并推广近期关于伪微分算子换位子和博赫纳-里斯乘子的加权紧致性结果？

主要发现

• 本文证明：若线性算子$T$在某个$w_1 \in A_{p_1,q_1}(\mathbb{R}^d)$的$L^{p_1}(w_1^{p_1})$到$L^{q_1}(w_1^{q_1})$上有紧致性，则对所有满足$\frac{1}{p} - \frac{1}{q} = \frac{1}{p_1} - \frac{1}{q_1}$的$p,q$以及所有$w \in A_{p,q}(\mathbb{R}^d)$，$T$在$L^p(w^p)$到$L^q(w^q)$上均紧致。
• 对于在有限范围$L^p(w)$空间上有界的算子，若存在$w_1 \in A_{p_1/p_-} \cap RH_{(p_+/p_1)'}$使得$T$在$L^{p_1}(w_1)$上紧致，则对所有$p \in (p_-, p_+)$和$w \in A_{p/p_-} \cap RH_{(p_+/p)'}$，$T$在$L^p(w)$上均紧致。
• 该方法恢复了近期结果：若$b \in CMO(\mathbb{R}^d)$且$T \in L_{1,0}^0$，则换位子$[b,T]$在所有$p \in (1,\infty)$和$w \in A_p^\zeta(\varphi)$（其中$\varphi(t) = 1 + t$，$\zeta > 0$）下均紧致，且无需直接验证弗雷chet–科尔莫戈罗夫准则。
• 该框架适用于博赫纳-里斯乘子，从而在所有$p \in (1,\infty)$和$A_p^\zeta(\varphi)$权重下，首次获得其加权紧致性的新结果。
• 通过实插值和Cwikel–Kalton的抽象紧致性准则，实现了紧致性外推，确保在端点空间上的紧致性可推出在插值空间上的紧致性。
• 结果在如下意义上是最优的：外推覆盖了已知有界性成立的全部权重与指数范围，且紧致性在尺度上均匀保持。