[论文解读] Extremal antipodal polygons and polytopes

Oswin Aichholzer, L.E. Caraballo+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2013

Mathematics and Applications参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文完整刻画了在圆上2n个点（每一点均有其对径点）构成的所有对径多边形中，面积最大或最小的对径多边形。文中提出一种线性时间算法来计算这些极值多边形，并通过三维及更高维度的反例表明，该刻画方法无法推广至高维空间。

ABSTRACT

Let $S$ be a set of $2n$ points on a circle such that for each point $p \in S$ also its antipodal (mirrored with respect to the circle center) point $p'$ belongs to $S$. A polygon $P$ of size $n$ is called \emph{antipodal} if it consists of precisely one point of each antipodal pair $(p,p')$ of $S$. We provide a complete characterization of antipodal polygons which maximize (minimize, respectively) the area among all antipodal polygons of $S$. Based on this characterization, a simple linear time algorithm is presented for computing extremal antipodal polygons. Moreover, for the generalization of antipodal polygons to higher dimensions we show that a similar characterization does not exist.

研究动机与目标

• 刻画在圆上所有可能的对径构型中，面积最大和最小的对径多边形。
• 设计一种高效算法，用于计算极值对径多边形，特别是线性时间复杂度的算法。
• 研究极值多边形的刻画是否可推广至高维对径多面体。
• 确定是否所有包含原点的厚对径多边形（即“厚”多边形）的面积总是大于不包含原点的薄对径多边形（即“薄”多边形）。
• 探索d维空间中极值对径多面体的存在性及其性质。

提出的方法

• 将对径点集定义为圆上2n个点，其中每个点均有其对径点。
• 将薄对径多边形定义为所有顶点完全位于过原点的某一闭半平面内的多边形；厚对径多边形则指其顶点分布在任意过原点的直线所定义的两个开半平面中的多边形。
• 将极值面积多边形刻画为：最小面积情形下顶点在角度顺序上连续排列，最大面积情形下顶点在角度顺序上交替排列。
• 通过几何与组合论证证明：交替排列配置使面积最大，连续排列配置使面积最小。
• 在三维及更高维度构造反例，表明该刻画方法不成立，通过比较选定对径子集凸包的体积来证明。
• 应用Gale引理由证明在某些配置下，d维空间中存在厚对径多面体。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的对径点集，是否每个厚对径多边形的面积都大于任意薄对径多边形？
• RQ2 是否能在O(n)时间内计算出极值对径多边形（最大和最小面积）？
• RQ3 是否存在类似于平面中极值对径多边形刻画的高维对径多边形刻画？
• RQ4 在d维空间中，是否每个对径点集都存在厚对径多面体？
• RQ5 能否在亚二次时间复杂度内解决(2n,k)-问题，即对k < n，寻找极值对径k边形？

主要发现

• 当顶点在圆上按角度顺序连续排列时，可达到最小面积的对径多边形。
• 当顶点在角度顺序上交替排列于对径点对之间时，可达到最大面积的对径多边形。
• 存在一种线性时间算法，基于点的角度排序，可计算出最小面积和最大面积的对径多边形。
• 在三维及更高维空间中，基于顶点分布的极值多面体刻画方法不成立，反例表明非厚多面体的体积可能大于厚多面体。
• 在d维空间中，厚对径多面体凸包的体积可小至非厚多面体的1/2^{d-2}，表明厚度并不保证极值性。
• Gale引理保证了在d维空间中某些配置下存在厚对径多面体，但并非所有对径点集都满足此性质。