[论文解读] Extremal Combinatorics, Iterated Pigeonhole Arguments and Generalizations of PPP

Amol Pasarkar, Mihalis Yannakakis+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2022

Computability, Logic, AI Algorithms被引用 2

一句话总结

本文引入了 PLC（多项式长选择），一个全新的 TFNP 复杂度类，用于刻画源自极值组合数学中迭代抽屉原理的问题。证明了 PLC 包含 PPP 以及诸如拉姆齐定理和花状集引理等自然问题，同时表明 Erdős–Ko–Rado 与 König 的引理为 PPP-完全，且通过非高效编码建立了超越 PPP 的图 Turán 型问题层次结构。

ABSTRACT

We study the complexity of computational problems arising from existence theorems in extremal combinatorics. For some of these problems, a solution is guaranteed to exist based on an iterated application of the Pigeonhole Principle. This results in the definition of a new complexity class within TFNP, which we call PLC (for "polynomial long choice"). PLC includes all of PPP, as well as numerous previously unclassified total problems, including search problems related to Ramsey's theorem, the Sunflower theorem, the Erdős-Ko-Rado lemma, and König's lemma. Whether the first two of these four problems are PLC-complete is an important open question which we pursue; in contrast, we show that the latter two are PPP-complete. Finally, we reframe PPP as an optimization problem, and define a hierarchy of such problems related to Turán's theorem.

研究动机与目标

• 形式化并分类源自极值组合数学的总搜索问题的计算复杂度，特别是那些依赖于迭代抽屉原理的问题。
• 定义一个新的复杂度类 PLC（多项式长选择），用于捕捉在策略性、顺序设置中通过重复应用抽屉原理可保证存在解的问题。
• 确定 PLC 与现有 TFNP 子类（尤其是 PPP）之间的关系，并在此框架内对著名极值组合数学定理（如拉姆齐、花状集、Erdős–Ko–Rado）进行分类。
• 探索由于组合对象的间接或非高效编码而产生的计算困难，如图 Turán 型问题与坏着色问题。
• 研究对偶问题（如 Short Choice）的结构及其在 TFNP 层次结构中的位置，包括 PEPP 与 TFΣ₂P。

提出的方法

• 将长选择问题定义为两人博弈：玩家 1 构建鸽子序列，玩家 2 在每一步对剩余鸽子进行划分；若玩家 1 成功构建出长度为 n+1 的序列则获胜。
• 通过使用多项式时间算法实现玩家 2 的划分决策，将 PLC 形式化为所有可归约至长选择问题的总搜索问题的集合。
• 证明长选择问题是 PPP-难的，从而确立 PLC ⊇ PPP，且由于每轮迭代中需同时完成多数估计与选择，故认为 PLC 严格大于 PPP。
• 将已知的极值组合数学问题（拉姆齐、花状集、Erdős–Ko–Rado、König 引理）归约至长选择或 PPP，证明其分别属于 PLC 或 PPP。
• 基于图 Turán 定理与坏着色实例构建问题层次结构，其中边数或团数超过阈值；证明这些问题是 PPP-难的，原因在于边集与着色约束的非高效编码。
• 将短选择问题引入为对偶博弈，其中玩家 1 试图提前终止；证明其为总问题但不显然属于 NP，并证明其为 PEPP-难，从而确定其位于 TFΣ₂P。

实验结果

研究问题

• RQ1 拉姆齐定理保证的单色团问题是否为 PLC-完全？
• RQ2 花状集与 Erdős–Ko–Rado 问题是否为 PLC-完全，还是严格位于 PPP 内部？
• RQ3 在图中寻找 (k+1)-团的问题的计算复杂度是多少，该图由 Turán 定理保证存在一个 (k+1)-团？这与 PPP 的关系如何？
• RQ4 能否通过黑箱或相对化构造将 PLC 与 PPP 分离？
• RQ5 非高效编码在生成计算困难中的作用是什么？其在 Bad Coloring 或 Bad k-集合着色等问题中如何体现？

主要发现

• 长选择问题是 PPP-难的，确立了 PLC 严格包含 PPP，因为 PPP 无法在迭代设置中高效处理多数估计与选择。
• 拉姆齐定理与花状集定理导出的问题属于 PLC，但其 PLC-完全性仍为开放问题。
• Erdős–Ko–Rado 引理与 König 引理被证明为 PPP-完全，表明它们位于经典 PPP 框架之内。
• 基于图 Turán 定理定义了一个问题层次结构，由于边集与着色约束的间接且非高效编码，每个问题均为 PPP-难。
• 尽管坏着色问题基于抽屉原理，但其不属于 PPP，原因在于合法孔（即合法边）的集合是隐式定义的，导致难以高效计算可用孔的数量或高效映射索引。
• 对偶问题 Short Choice 是总问题但不显然属于 NP；其被证明为 PEPP-难，因此位于 TFΣ₂P，暗示了 TFNP 层次结构中的一个新子类。