[论文解读] Extremal eigenvalues of critical Erd\H{o}s-R\'enyi graphs

Johannes Alt, Raphaël Ducatez+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2019

Random Matrices and Applications参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文建立了临界 Erdős-Rényi 图中度数至少为 $2d$ 的顶点与归一化邻接矩阵 $A/\sqrt{d}$ 在半圆体外非平凡特征值之间的一一对应关系，其中 $d \asymp \log N$。它确定了极值特征值开始出现在体外的临界阈值 $d_* = \frac{1}{\log 4 - 1}\log N \approx 2.59\log N$，为 $d < d_*$ 提供了定量的高概率刚性界，并证明当 $d > d_*$ 时不存在此类特征值。

ABSTRACT

We complete the analysis of the extremal eigenvalues of the the adjacency matrix $A$ of the Erd\\H{o}s-R\\'enyi graph $G(N,d/N)$ in the critical regime $d \\asymp \\log N$ of the transition uncovered in [arXiv:1704.02953,arXiv:1704.02945], where the regimes $d \\gg \\log N$ and $d \\ll \\log N$ were studied. We establish a one-to-one correspondence between vertices of degree at least $2d$ and nontrivial (excluding the trivial top eigenvalue) eigenvalues of $A / \\sqrt{d}$ outside of the asymptotic bulk $[-2,2]$. This correspondence implies that the transition characterized by the appearance of the eigenvalues outside of the asymptotic bulk takes place at the critical value $d = d_* = \\frac{1}{\\log 4 - 1} \\log N$. For $d &lt; d_*$ we obtain rigidity bounds on the locations of all eigenvalues outside the interval $[-2,2]$, and for $d &gt; d_*$ we show that no such eigenvalues exist. All of our estimates are quantitative with polynomial error probabilities. Our proof is based on a tridiagonal representation of the adjacency matrix and on a detailed analysis of the geometry of the neighbourhood of the large degree vertices. An important ingredient in our estimates is a matrix inequality obtained via the associated nonbacktracking matrix and an Ihara-Bass formula [arXiv:1704.02945]. Our argument also applies to sparse Wigner matrices, defined as the Hadamard product of $A$ and a Wigner matrix, in which case the role of the degrees is replaced by the squares of the $\\ell^2$-norms of the rows.

研究动机与目标

• 完成对临界尺度 $d \asymp \log N$ 下 Erdős-Rényi 图 $G(N,d/N)$ 的邻接矩阵 $A$ 的极值特征值的完整刻画，其中体与异常特征值之间的转变发生。
• 建立度数 $D_x \geq 2d$ 的顶点与 $A/\sqrt{d}$ 在渐近体 $[-2,2]$ 外的非平凡特征值之间精确的一一对应关系。
• 为 $d < d_*$ 推导出体外特征值位置的定量高概率刚性界，并证明当 $d > d_*$ 时不存在此类特征值。
• 通过三对角表示和非回溯矩阵技术，将分析扩展至稀疏 Wigner 矩阵，其中顶点度数被行 $\ell^2$-范数所取代。

提出的方法

• 构建邻接矩阵 $A$ 的三对角表示，以分析高阶度顶点附近的谱性质。
• 详细分析高阶度顶点邻域的几何结构，将其结构与极值特征值的出现联系起来。
• 利用来自非回溯矩阵和 Ihara-Bass 公式的矩阵不等式，控制谱范数和特征值位置。
• 通过泊松近似度分布将特征值分布与度序列联系起来，其中 $\mathbb{P}(D_x = k) \approx \exp(-f_d(k/d))$。
• 使用计数函数 $\mathcal{N}_t = \sum_x \mathbf{1}_{D_x \geq t}$ 来估计度数 $\geq t$ 的顶点数量，从而应用一阶与二阶矩方法。
• 函数 $f_d(\alpha) = \alpha \log \alpha - \alpha + 1$ 用于建模度数的尾部概率，其反函数用于定义 $\beta_l(d)$ 为第 $l$ 大的归一化度数的典型值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在临界尺度 $d \asymp \log N$ 下，归一化邻接矩阵 $A/\sqrt{d}$ 的极值特征值在半圆体 $[-2,2]$ 外开始出现的精确阈值 $d_*$ 是什么？
• RQ2 体外特征值的位置如何与图中单个顶点的度数相关？
• RQ3 对于 $d < d_*$，能否建立体外特征值位置的定量高概率界？
• RQ4 极值特征值行为的转变是否与连通性阈值 $d = \log N$ 一致，还是发生在不同的临界值？
• RQ5 该方法能否扩展至稀疏 Wigner 矩阵，其中度数被行 $\ell^2$-范数所取代？

主要发现

• 极值特征值在体外出现的临界阈值为 $d_* = \frac{1}{\log 4 - 1}\log N \approx 2.59\log N$，该值不同于连通性阈值 $d = \log N$。
• 当 $d < d_*$ 时，存在度数 $D_x \geq 2d$ 的顶点与 $A/\sqrt{d}$ 在 $[-2,2]$ 外的非平凡特征值之间的一一对应关系，特征值位于 $\pm \Lambda(D_x/d)$ 附近，其中 $\Lambda(t) = \frac{t}{\sqrt{t-1}}$。
• 当 $d < d_*$ 时，第 $l$ 大的归一化度数 $\alpha_{\sigma(l)}$ 几乎必然满足 $|\alpha_{\sigma(l)} - \beta_l(d)| \leq \frac{1 \vee (\xi / \log \beta_l(d))}{d}$，其中 $\beta_l(d)$ 是方程 $f_d(\beta) = \log(N/l)$ 的解。
• 当 $d > d_*$ 时，最大归一化度数满足 $\alpha_{\sigma(1)} \leq 2 + \frac{\xi}{d}$ 几乎必然，意味着体外不存在特征值。
• 该方法适用于稀疏 Wigner 矩阵 $X = W \circ A$，其中顶点度数的角色由行的 $\ell^2$-范数取代，且相同的临界阈值 $d_*$ 控制该转变。
• 该分析提供了多项式形式的误差概率，所有界在概率至少 $1 - N^{-\nu}$ 下成立，其中 $\nu > 0$ 为任意固定常数。