[论文解读] Extremal functions for singular Trudinger-Moser inequalities in the entire Euclidean space

LI Xiao-meng, Yunyan Yang|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文在全欧几里得空间 ℝ^N（N ≥ 2）中，针对具有 Hardy 型权 |x|^{−Nβ} 和临界指数的奇异 Trudinger-Moser 不等式，建立了极值函数的存在性，其中 0 < β < 1。通过爆破分析与变分方法，作者证明了在亚临界与临界情形下，不等式中的上确界由一个非负、径向对称、属于 W^{1,N}(ℝ^N) 的 C¹ 函数实现，从而解决了奇异情形下长期存在的极值函数存在性问题。

ABSTRACT

In a previous work (Int. Math. Res. Notices 13 (2010) 2394-2426), Adimurthi-Yang proved a singular Trudinger-Moser inequality in the entire Euclidean space $\mathbb{R}^N$ $(N\geq 2)$. Precisely, if $0\leq β&lt;1$ and $00$, $$\sup_{u\in W^{1,N}(\mathbb{R}^N),\,\int_{\mathbb{R}^N}(| abla u|^N+τ|u|^N)dx\leq 1}\int_{\mathbb{R}^N}\frac{1}{|x|^{Nβ}}\left(e^{α_Nγ|u|^{\frac{N}{N-1}}}-\sum_{k=0}^{N-2}\frac{α_N^kγ^k|u|^{\frac{kN}{N-1}}} {k!} ight)dx1-β$, all integrals are still finite but the supremum is infinity. In this paper, we concern extremal functions for these singular inequalities. The regular case $β=0$ has been considered by Li-Ruf (Indiana Univ. Math. J. 57 (2008) 451-480) and Ishiwata (Math. Ann. 351 (2011) 781-804). We shall investigate the singular case $00$, $0

研究动机与目标

• 在全欧几里得空间 ℝ^N 中，针对原点处具有 Hardy 型奇异性的情形，建立奇异 Trudinger-Moser 不等式极值函数的存在性。
• 将此前针对 β = 0（正则情形）已建立的极值函数结果，推广至 0 < β < 1 的奇异情形。
• 解决关于奇异 Trudinger-Moser 不等式中上确界是否在 0 < β < 1 且 γ ≤ 1 − β 时可实现的开放问题。
• 为全空间中奇异 Trudinger-Moser 不等式的亚临界与临界情形提供完整的存在性理论。
• 发展并应用一种精细化的爆破分析方法，以处理由奇异性及 ℝ^N 的非紧性所导致的紧性缺失问题。

提出的方法

• 采用爆破分析研究奇异 Trudinger-Moser 不等式中极值序列的集中-紧致性行为。
• 构造一个以原点为中心、包含对数型与幂次型奇异性的测试函数 φ_ε，以检验不等式的 sharp 性。
• 通过变量替换与分部积分法，估计加权积分中指数项在环形区域（尤其是原点附近）的积分值。
• 利用指数函数的泰勒展开式 ζ(N,s) = e^s − ∑_{k=0}^{N−2} s^k/k!，处理不等式中的亚临界截断项。
• 建立测试序列在 L^N 范数与梯度范数上的统一有界性，以确保其在 W^{1,N}(ℝ^N) 范数下的有界性。
• 在假设集中参数 c_ε → ∞ 的前提下，通过爆破分析导出矛盾，证明 c_ε 必须有界，从而推出极大值函数的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ℝ^N 上，对于具有权 |x|^{−Nβ}（0 < β < 1）的奇异 Trudinger-Moser 不等式，其上确界是否可实现极大值函数？
• RQ2 在奇异 Trudinger-Moser 不等式中，临界情形 γ = 1 − β 时，能否构造出极值函数？
• RQ3 |x|^{−Nβ} 奇异性如何影响极值序列的集中-紧致性结构？
• RQ4 正则情形（β = 0）中的爆破分析技术是否可推广至奇异情形（0 < β < 1），以证明极值函数的存在性？
• RQ5 极值序列的精确渐近行为是什么？其与最佳常数 α_N(1−β) 的关系如何？

主要发现

• 对所有 τ > 0，0 < β < 1，且 0 < γ ≤ 1 − β，奇异 Trudinger-Moser 不等式在 W^{1,N}(ℝ^N) 中均存在极值函数。
• 在亚临界情形（γ = 1 − β − ε，其中小量 ε > 0），上确界由一个非负、径向对称、属于 W^{1,N}(ℝ^N) ∩ C⁰(ℝ^N) 的 C¹ 函数实现。
• 在临界情形（γ = 1 − β）中，上确界同样可实现，且通过在爆破分析中假设集中参数发散时导出矛盾，证明了极值函数的存在性。
• 作者证明了爆破序列中的集中参数 c_ε 必须有界，从而排除了无限集中现象，保证了紧致性，进而推出极大值函数的存在性。
• 证明了指数项积分的渐近下界为 ∼ (ω_{N−1}/(N(1−β))) e^{∑_{k=1}^{N−1} 1/k + α_N(1−β)A_0}，其为严格正且与 ε 无关。
• 证明表明临界上确界是有限且可实现的，确认了奇异情形下不等式的 sharp 性，将先前 β = 0 的结果推广至 0 < β < 1 的情形。