[论文解读] Extremal graph for intersecting odd cycles

Xinmin Hou, Yu Qiu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文确定了相交奇圈的极值图，证明当 n 足够大时，不含 k 个相交 q-圈（q 为奇数且 q ≥ 5）的图的最大边数由 Turán 图 T_{n,2} 实现，且在其中一个部分集内嵌入一个完全二部图 K_{k-1,k-1}。极值边数为 e(T_{n,2}) + (k-1)^2，推广了关于相交三角形和团的先前结果。

ABSTRACT

An extremal graph for a graph $H$ on $n$ vertices is a graph on $n$ vertices with maximum number of edges that does not contain $H$ as a subgraph. Let $T_{n,r}$ be the Turán graph, which is the complete $r$-partite graph on $n$ vertices with part sizes that differ by at most one. The well-known Turán Theorem states that $T_{n,r}$ is the only extremal graph for complete graph $K_{r+1}$. Erdös et al. (1995) determined the extremal graphs for intersecting triangles and Chen et al. (2003) determined the maximum number of edges of the extremal graphs for intersecting cliques. In this paper, we determine the extremal graphs for intersecting odd cycles.

研究动机与目标

• 确定在不包含 k 个相交奇圈（长度 q ≥ 5）的图中，边数最大的极值图。
• 将先前关于相交三角形和团的极值图结果推广至相交奇圈的情形。
• 精确确定极值边数，并刻画大 n 时唯一极值图的结构。
• 证明极值图唯一地为 Turán 图 T_{n,2}，且在其中一个部分集内嵌入一个 K_{k-1,k-1}。

提出的方法

• 以 Turán 图 T_{n,2} 作为基础结构，即在 n 个顶点上的完全平衡二部图。
• 引入一族图 F_{n,k}，其由 T_{n,2} 与在其中一个部分集内嵌入的 K_{k-1,k-1} 构成。
• 应用极值图论技术，包括通过引理 2.1 的度数和匹配数约束，以及引理 2.2 的稳定性结果。
• 通过结构分析和反证法证明，任何极值图必须在一个部分集内包含一个 K_{k-1,k-1}，而另一个部分集内无内部边。
• 利用度数和与匹配数的界来限制可能的配置，并证明唯一性。
• 应用引理 2.4 和观察 2.3，以限制最大度 ≤ 2 的子图中的边数，并控制匹配数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 n 个顶点的图中，避免 k 个相交奇圈（长度 q ≥ 5）时，最大边数是多少？
• RQ2 对于大 n，实现该最大边数的唯一极值图结构是什么？
• RQ3 相交奇圈的极值图如何推广先前关于相交三角形和团的结果？
• RQ4 在何种条件下，极值图由 Turán 图 T_{n,2} 与一个嵌入在部分集内的完全二部图构成？
• RQ5 为何边数恰好为 e(T_{n,2}) + (k-1)^2，且为何该结构是唯一的极值图？

主要发现

• 对所有 n ≥ n₁(k,q)，极值边数 ex(n, C_{k,q}) 等于 e(T_{n,2}) + (k-1)^2。
• C_{k,q} 的唯一极值图属于一族图 F_{n,k}，即 T_{n,2} 在其中一个部分集内嵌入一个 K_{k-1,k-1}。
• 当 n 足够大时，极值图在同构意义下唯一。
• 证明表明，任何极值图必须在一个部分集内包含一个完全平衡二部图 K_{k-1,k-1}，而另一个部分集内无内部边。
• 嵌入的 K_{k-1,k-1} 中的边数 (k-1)^2 是紧的，无法再增加，否则将产生一个 C_{k,q} 的副本。
• 该结果推广了 Erdös 等人（1995 年）定理 1.1 关于 k-扇形图的结果至奇长度 q ≥ 5 的相交奇圈情形。