[论文解读] Extremal graphs for wheels

Long‐Tu Yuan|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 18被引用 4

一句话总结

该论文确定了当 $n$ 足够大时奇数轮图 $W_{2k+1}$ 的精确图兰数，表明极值图由顶点的一种特定度优化划分构成。此外，它进一步证实，在 $K_n$ 的 2-边染色中，不属于任何单色 $W_{2k+1}$ 的边的最大数量等于图兰数，从而验证了基什和苏达科夫关于奇数轮图的猜想。

ABSTRACT

For a graph $H$, the Turán number of $H$, denoted by ex$(n,H)$, is the maximum number of edges of an $n$-vertex $H$-free graph. Let $g(n,H)$ denote the maximum number of edges not contained in any monochromatic copy of $H$ in a $2$-edge-coloring of $K_n$. A wheel $W_m$ is a graph formed by connecting a single vertex to all vertices of a cycle of length $m-1$. The Turán number of $W_{2k}$ was determined by Simonovits in the 1960s. In this paper, we determine ex$(n,W_{2k+1})$ when $n$ is sufficiently large. We also show that, for sufficiently large $n$, $g(n,W_{2k+1})=\mbox{ex}(n,W_{2k+1})$ which confirms a conjecture posed by Keevash and Sudakov for odd wheels.

研究动机与目标

• 确定当 $n$ 足够大时奇数轮图 $W_{2k+1}$ 的精确图兰数 $\mathrm{ex}(n, W_{2k+1})$。
• 解决基什和苏达科夫提出的猜想，即当 $H = W_{2k+1}$ 时，$g(n, H) = \mathrm{ex}(n, H)$，其中 $g(n, H)$ 表示在 $K_n$ 的 2-边染色中，不属于任何单色 $H$ 的边的最大数量。
• 刻画奇数轮图极值图的结构，表明由于其分解族不包含一个线性森林，这些图无法被经典极值图论结果所覆盖。
• 建立 $W_{2k+1}$ 的极值染色的精确刻画，即红色图是 $W_{2k+1}$-自由的极值图，蓝色图为其补图。

提出的方法

• 定义 $f(n,k) = \max\left\{n_0n_1 + \left\lfloor \frac{(k-1)n_0}{2} \right\rfloor + 1 : n_0 + n_1 = n \right\}$ 作为 $W_{2k+1}$ 的候选极值边数。
• 通过顶点数的逐步归纳法分析避免单色 $W_{2k+1}$ 的 $K_n$ 的极值 2-边染色，重点关注非单色边（NIM-边）的结构。
• 采用顶点划分策略，将 $V(K_n)$ 划分为两个大集合 $B_1, B_2$，大小为 $n/2 + O(\sqrt{n})$，每个集合内部形成红色完全二部图，并引入一个大小为 $O(1)$ 的小异常集合 $D$。
• 建立关于 $B_i \cup C_i$ 中顶点的蓝色边数的界限，表明每个此类顶点在其集合内部至多有 $k-1$ 个蓝色邻居，从而确保不会形成蓝色 $W_{2k+1}$。
• 利用引理 5.3 在染色中找到一个蓝色 $T(2N,2)$ 的拷贝，并通过逐步归纳法证明极值染色必须满足红色图是 $W_{2k+1}$-自由的极值图。
• 利用 $V_i = B_i \cup C_i \cup D_i$ 内部所有边均为蓝色且度数有界的事实（$\leq k-1$），证明极值图在同构意义下是唯一的。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n$ 足够大时，图兰数 $\mathrm{ex}(n, W_{2k+1})$ 的精确值是什么？
• RQ2 是否对所有足够大的 $n$ 都有 $g(n, W_{2k+1}) = \mathrm{ex}(n, W_{2k+1})$ 成立，从而确认基什-苏达科夫猜想对奇数轮图成立？
• RQ3 极值图对于 $W_{2k+1}$ 具有哪些结构特性，特别是当 $W_{2k+1}$ 的分解族不包含线性森林时？
• RQ4 如何刻画避免出现单色 $W_{2k+1}$ 的 $K_n$ 的极值 2-边染色？
• RQ5 异常集合 $D$ 在极值染色中起什么作用？其大小如何影响极值边数？

主要发现

• 当 $k \geq 3$ 时，$\mathrm{ex}(n, W_{2k+1}) = f(n,k) = \max\left\{n_0n_1 + \left\lfloor \frac{(k-1)n_0}{2} \right\rfloor + 1 : n_0 + n_1 = n \right\}$，当 $n$ 足够大时成立。
• 当 $k = 2$ 时，$\mathrm{ex}(n, W_5) = \left(\lceil \frac{n}{2} \rceil + 1 \right) \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor$，对应于完全分裂图 $K_{\lceil n/2 \rceil, \lfloor n/2 \rfloor} + e$。
• $g(n, W_{2k+1}) = \mathrm{ex}(n, W_{2k+1})$ 对所有足够大的 $n$ 成立，从而确认了基什-苏达科夫猜想对奇数轮图成立。
• 奇数轮图 $W_{2k+1}$ 的极值图被刻画为：顶点集被划分为两部分 $V_1, V_2$，满足 $|V_1| = n_0$，$|V_2| = n_1$，$n_0 + n_1 = n$，边集由 $V_1$ 与 $V_2$ 之间的所有边，加上 $\left\lfloor \frac{(k-1)n_0}{2} \right\rfloor + 1$ 条 $V_1$ 内部的边构成，从而在 $W_{2k+1}$-自由条件下使总边数最大化。
• 避免出现单色 $W_{2k+1}$ 的 $K_n$ 的极值 2-边染色，恰好是红色图是 $W_{2k+1}$-自由的极值图、蓝色图为其补图的情形，且红色图是 $W_{2k+1}$ 的唯一极值图。
• 在逐步归纳中，异常集合 $D$ 的大小被一个常数 $N_1$ 所限制，且所有 $B_i \cup C_i$ 中的顶点在其集合内部至多有 $k-1$ 个蓝色邻居，从而确保不会形成蓝色 $W_{2k+1}$。