[论文解读] Extremal problems on ordered and convex geometric hypergraphs

Zoltán Füredi, Tao Jiang+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文为有序和凸几何 $r$-一致超图建立了极值界限，引入了一项分割定理，揭示了基于共度密度的极值行为相变。关键结果是针对特定有序 $r$-图 $F$（由两条交替边组成）的精确极值函数：${ m{ex}}_{ ightarrow}(n,F) = inom{n}{r} - inom{n-r}{r}$，这是 Erdős–Ko–Rado 定理的有序类比。

ABSTRACT

An ordered hypergraph is a hypergraph whose vertex set is linearly ordered, and a convex geometric hypergraph is a hypergraph whose vertex set is cyclically ordered. Extremal problems for ordered and convex geometric graphs have a rich history with applications to a variety of problems in combinatorial geometry. In this paper, we consider analogous extremal problems for uniform hypergraphs, and discover a general partitioning phenomenon which allows us to determine the order of magnitude of the extremal function for various ordered and convex geometric hypergraphs. A special case is the ordered $n$-vertex $r$-graph $F$ consisting of two disjoint sets $e$ and $f$ whose vertices alternate in the ordering. We show that for all $n \geq 2r + 1$, the maximum number of edges in an ordered $n$-vertex $r$-graph not containing $F$ is exactly \[ {n \choose r} - {n - r \choose r}.\] This could be considered as an ordered version of the Erdős-Ko-Rado Theorem, and generalizes earlier results of Capoyleas and Pach and Aronov-Dujmovič-Morin-Ooms-da Silveira.

研究动机与目标

• 将极值图论扩展至有序和凸几何 $r$-一致超图，受几何与组合应用的启发。
• 解决特定具有交替边的 $r$-图的有序 Erdős–Ko–Rado 定理版本。
• 建立一个通用的划分原理（分割定理），将有序超图中的极值函数与有界区间色数的极值函数联系起来。
• 研究线性有序与循环有序超图在极值行为上的差异，特别是针对路径和匹配。
• 解决关于有序和凸几何设定下森林的线性或近线性极值函数的开放猜想。

提出的方法

• 引入分裂超图的概念，其中边在某一区间有两个顶点，其余 $r-1$ 个区间各有一个顶点，以建模结构化的极值配置。
• 证明分割定理，表明当禁止超图 $F$ 的共度密度 $c$ 满足 $c = r-1$ 时，${ m{ex}}_{ ightarrow}(n,F) = O(z_{ ightarrow}(n,F) ext{ polylog }n)$，而当 $c > r-1$ 时，${ m{ex}}_{ ightarrow}(n,F) = O(z_{ ightarrow}(n,F))$。
• 在有序和凸几何设定下构造极值族 $G(n,r,r+2)$，以建立路径和匹配极值函数的下界。
• 使用递归顶点选择论证来避免禁止配置，特别是凸几何设定下的交叉路径。
• 利用凸几何匹配的已知结果（Capoyleas–Pach）推导出 $CM_k^r$ 的精确界限，表明 ${ m{ex}}_{ ightarrow}(n,CM_k^r) = { m{ex}}_{igcirclearrowright}(n,CM_k^r)$ 且增长量级为 $ heta(n^{r-1})$。
• 将有序和凸几何图论中的极值技术应用于统一超图，推广了单位距离和交叉匹配的相关结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于线性序中顶点交替排列的两条不相交边组成的有序 $r$-图，其精确极值函数是什么？
• RQ2 有序超图的极值函数如何依赖于禁止超图的共度密度？
• RQ3 有序 Erdős–Ko–Rado 定理能否推广至具有交替边结构的 $r$-一致超图？
• RQ4 在凸几何设定下，$r$-一致交叉 $k$-路径的极值行为与有序设定下的表现有何不同？
• RQ5 对于哪些 $r$-一致森林类，极值函数 ${ m{ex}}_{ ightarrow}(n,F)$ 有界于 $O(n^{r-1} ext{ polylog }n)$？

主要发现

• 对于所有 $n \neq 2r+1$，具有两条交替边的有序 $r$-图 $F$ 的极值函数精确为 ${ m{ex}}_{ ightarrow}(n,F) = \binom{n}{r} - \binom{n-r}{r}$，提供了 Erdős–Ko–Rado 定理的精确有序类比。
• 分割定理表明，当禁止超图 $F$ 的共度密度 $c = r-1$ 时，${ m{ex}}_{ ightarrow}(n,F) = O(z_{ ightarrow}(n,F) ext{ polylog }n)$；当 $c > r-1$ 时，${ m{ex}}_{ ightarrow}(n,F) = O(z_{ ightarrow}(n,F))$。
• 对于 $r$-一致交叉 $k$-路径 $CP_k^r$，在有序设定下，当 $k \neq r+1$ 时，极值函数满足 ${ m{ex}}_{ ightarrow}(n,CP_k^r) = \binom{n}{r} - \binom{n-r}{r}$，且 $c(r+1,r) = r$。
• 在凸几何设定下，$r$-一致交叉 $k$-匹配 $CM_k^r$ 的极值函数满足 ${ m{ex}}_{\bigcirclearrowright}(n,CM_k^r) = \theta(n^{r-1})$，且无对数因子。
• 在凸几何设定下，$CP_{2r}^r$ 的极值函数上界为 $O(n^{r-1})$，且构造 $G(n,r,r+2)$ 由于顶点排序的结构约束，可避免此类路径。
• 在有序和凸几何设定下，$CM_k^r$ 的极值函数相同：${ m{ex}}_{\rightarrow}(n,CM_k^r) = { m{ex}}_{\bigcirclearrowright}(n,CM_k^r)$，且该函数为 $\theta(n^{r-1})$。