[论文解读] Extremal quantum correlations for N parties with two dichotomic observables per site

Lluís Masanes|ArXiv.org|Dec 13, 2005

Quantum Mechanics and Applications参考文献 1被引用 43

一句话总结

本文证明了在N个参与者、每个站点有两个二项可观测量的极端量子关联，均可通过N-qubit纯态和投影测量实现。关键结果是：任何违反贝尔不等式的量子关联，均可通过随机局部操作（SLOCC）转化为一个N-qubit态，使其对同一不等式的违反程度至少不变，从而实现了该情形下量子实现性的算法可判定性。

ABSTRACT

Consider a scenario where $N$ separated quantum systems are measured, each with one among two possible dichotomic observables. Assume that the $N$ events corresponding to the choice and performance of the measurement in each site are space-like separated. In the present paper, the correlations among the measurement outcomes that arise in this scenario are analyzed. It is shown that all extreme points of this convex set are attainable by measuring $N$-qubit pure-states with projective observables. This result allows the possibility of using known algorithms in order decide whether some correlations are achievable within quantum mechanics or not. It is also proven that if an $N$-partite state $ρ$ violates a given Bell inequality, then, $ρ$ can be transformed by stochastic local operations into an $N$-qubit state that violates the same Bell inequality by an equal or larger amount.

研究动机与目标

• 表征N个参与者、每个参与者执行两次二项测量的贝尔情景中的量子关联集合。
• 确定该量子关联集合的极端点是否可由最小维数的量子系统实现。
• 为判断给定关联分布在此情景下是否为量子力学可实现的，提供一个有限且算法化的判定准则。
• 建立贝尔不等式违反与量子态维度之间的联系，表明高维态可被简化为qubit态而不会损失违反程度。

提出的方法

• 分析由N体量子态上局部测量产生的联合概率分布P(a₁…aN|x₁…xN)所定义的量子关联的凸集。
• 使用正算子值测度（POVM）形式化和迹规则，将量子关联表示为Tr[ρ ⊗ₙ Aₙ(aₙ|xₙ)]。
• 运用凸几何与量子信息理论的技术，证明该量子关联集合的所有极端点均可通过N-qubit纯态和投影测量实现。
• 采用随机局部操作（SLOCC）将一般N体态投影到每个参与者的秩二子空间，同时保持或增强贝尔不等式的违反程度。
• 利用线性规划与凸优化中的已知结果（GLS算法），证明当局部希尔伯特空间维数被限制为2时，量子实现性的可判定性成立。
• 使用全相关函数C(x₁…xₙ)在保留极端性与违反性质的同时，减少实验数据量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在N个参与者、每个站点有两个二项可观测量的情形下，所有极端量子关联是否均可通过仅使用N-qubit纯态和投影测量实现？
• RQ2 任何违反贝尔不等式的N体量子态，是否均可通过随机局部操作（SLOCC）转化为一个N-qubit态，使其对同一不等式的违反程度至少不变？
• RQ3 生成(N, M=2, K=2)情形下所有极端量子关联所需的最小局部希尔伯特空间维数是否恰好为2（即K）？
• RQ4 判断给定关联分布是否为量子力学可实现的问题，是否可在此情景下简化为一个有限维、算法可行的判定问题？
• RQ5 在多体情景中，贝尔不等式违反与底层量子态维度之间存在何种关系？

主要发现

• 在N参与者、每个站点有两个二项可观测量的情景中，所有极端量子关联均可通过N-qubit纯态和投影测量实现。
• 该情景下的量子关联集合完全由N-qubit态表征，解决了量子信息理论开放问题列表中的问题26.A。
• 任何违反贝尔不等式的N体态，均可通过SLOCC转化为一个N-qubit态，使其对同一不等式的违反程度至少不变或更大。
• 当局部希尔伯特空间维数被限制为2时，判断给定关联分布是否为量子力学可实现的问题，可通过已知算法（GLS）实现可判定性。
• 全相关函数C(x₁…xₙ)捕捉了该情景下所有极端量子行为，将数据需求从2^N个参数减少至2^N - 1个参数。
• 该结果意味着，生成(N, M=2, K=2)情形下所有极端量子关联的最小局部维数恰好为2，证实了该情形下的猜想。