[论文解读] Extremal Restraints for Graph Colourings

Jason I. Brown, Aysel Erey+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文研究了极端约束——即为顶点分配禁止颜色的函数——在完全图和树中，通过标准简单约束（每个顶点仅禁止一种颜色）来最大化或最小化合法顶点着色数。研究证明，对于完全图和树，当约束形成交替着色时，受限色多项式达到最大值，而这种交替着色本身也是一种最小合法着色。该结果表明，在一般图中，极端约束并不总是对应于最小着色，从而挑战了一个潜在的猜想。

ABSTRACT

A {\em restraint} on a (finite undirected) graph $G = (V,E)$ is a function $r$ on $V$ such that $r(v)$ is a finite subset of ${\mathbb N}$; a proper vertex colouring $c$ of $G$ is {\em permitted} by $r$ if $c(v) ot\in r(v)$ for all vertices $v$ of $G$ (we think of $r(v)$ as the set of colours {\em forbidden} at $v$). Given a large number of colors, for restraints $r$ with exactly one colour forbidden at each vertex the smallest number of colorings is permitted when $r$ is a constant function, but the problem of what restraints permit the largest number of colourings is more difficult. We determine such extremal restraints for complete graphs and trees.

研究动机与目标

• 确定在图中，哪些标准简单约束（每个顶点恰好分配一种禁止颜色）能最大化合法 x-着色的数量。
• 刻画完全图和树中使受限色多项式达到极值的约束结构。
• 研究极端约束是否始终对应于最小合法着色，特别是在二分图中。
• 探讨在固定约束下，受限色多项式何时达到最大值或最小值。
• 考察对称性与颜色分布在约束条件下最大化合法着色数中的作用。

提出的方法

• 使用受限色多项式 π_r(G,x)，其定义为每个顶点 v 避免其禁止集合 r(v) 的合法 x-着色数。
• 对顶点数使用归纳法，特别通过移除叶子节点分析树结构及其子图。
• 基于叶子的邻居颜色是否与叶子的禁止颜色匹配，进行分类讨论。
• 在移除顶点后，对图的连通分量引入辅助约束 r_i，以建模颜色可用性并计算合法着色数。
• 采用类似删去-收缩的推理方法，并通过多项式比较证明交替约束能产生严格更大的受限色多项式。
• 通过分析不同约束下受限色多项式表达式的差异，并证明其在大 x 下为正，来比较不同约束下的多项式大小。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于完全图和树，哪些标准简单约束能使 x-着色数在大 x 下达到最大？
• RQ2 是否总是存在使受限色多项式达到最大值的约束，且该约束为图的最小合法着色？
• RQ3 在何种条件下，非最小着色约束会比最小着色约束产生更多合法着色？
• RQ4 能否为特定图类组合性地刻画标准简单约束下受限色多项式的最大值？
• RQ5 是否对几乎所有图而言，极端约束都对应于最小着色？

主要发现

• 对于完全图，当约束为常数（所有顶点禁止相同颜色）时，受限色多项式达到最大值，但这与树中的交替模式相矛盾。
• 对于树，当约束形成交替着色（即任意路径上颜色交替）时，受限色多项式被严格最大化。
• 通过归纳法和分类分析证明，树上的交替约束比任何非交替约束产生更多的 x-着色数。
• 树的受限色多项式最大值唯一由交替约束实现，且对于大 x，该值比其他所有值严格更大。
• 存在图（例如阶为 6 的图），其使多项式最大的约束并非最小着色，从而否定了一个潜在的推广猜想。
• 提出一个猜想：对所有二分图，交替约束均使受限色多项式最大化，该猜想已在阶至 6 的图中得到验证。