[论文解读] Extremal trigonometric polynomials and the problem of optimal stabilization of chaos

Dmitriy Dmitrishin, Anna Khamitova|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2013

Chaos control and synchronization参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文在归一化约束下解决了共轭三角多项式的一个极值问题，证明当正弦多项式为零时，余弦多项式的最小值为 $-\tan^2\left(\frac{\pi}{2(n+1)}\right)$，且该值仅由一个非负的费耶尔多项式实现。该结果使得通过最小预历史深度的延迟反馈控制实现非线性离散系统的混沌最优稳定化成为可能。

ABSTRACT

The paper contains an example of harmonic analysis applications to the problem of chaos stabilization by the DFC methods

研究动机与目标

• 求解在约束 $\sum a_j = 1$ 下共轭三角多项式 $C(t)$ 和 $S(t)$ 的极值问题。
• 确定控制理论中非线性离散系统族特征多项式最大鲁棒稳定区间的长度。
• 将极值结果应用于设计最优延迟反馈控制，以稳定混沌系统中的不稳定平衡点。
• 在确保系统在 $(-\mu^*, -1)$ 内具有负乘子时的稳定性前提下，最小化延迟反馈控制的预历史深度。

提出的方法

• 将极值问题表述为在 $S(t) = 0$ 和 $\sum a_j = 1$ 约束下最小化 $C(t)$，通过单位圆实现几何解释。
• 利用复分析和幅角原理，证明 $S(t)$ 的零点集上 $C(t)$ 的下确界为负。
• 通过恒等式 $\sin jt = (\cos t - \cos t_1) \cdot \text{低阶正弦多项式}$ 对三角多项式进行递归分解，实现降次。
• 将特征多项式的稳定性与单位圆上三角和的实部联系起来，将极值结果与稳定裕度关联。
• 将控制问题转化为参数化多项式族，并利用极值结果推导出最大稳定区间。
• 通过极值费耶尔多项式推导最优控制系数，确保最小预历史深度和有界控制增益大小。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\sum a_j = 1$ 条件下，$C(t)$ 在所有满足 $S(t) = 0$ 的 $t$ 上的下确界是多少？
• RQ2 对于归一化系数的多项式族 $f(\lambda) = \lambda^n + k\sum a_j \lambda^{n-j}$，其最大鲁棒稳定区间长度是多少？
• RQ3 如何设计最优延迟反馈控制，以在最小预历史深度下稳定非线性离散系统中的不稳定平衡点？
• RQ4 对于乘子 $\mu \in (-\mu^*, -1)$ 的系统，稳定所需的最小预历史深度 $N^*$ 是多少？
• RQ5 确保控制努力有界的最优控制增益 $\varepsilon_j$ 是什么？

主要发现

• 在 $\min_t \{ C(t) : S(t) = 0, \sum a_j = 1 \}$ 条件下，极值为 $-\tan^2\left(\frac{\pi}{2(n+1)}\right)$，且仅由一个非负费耶尔多项式实现。
• 最大稳定区间长度为 $\Phi = \frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi}{2(n+1)}\right)}$，其中 $k_1 = 1$，$k_2 = \cot^2\left(\frac{\pi}{2(n+1)}\right)$。
• 对于乘子 $\mu \in (-\mu^*, -1)$ 的非线性离散系统，最小预历史深度为 $N^* = \left[\frac{\pi}{2 \cdot \operatorname{arccot} \sqrt{\mu^*}}\right] - 1$，该值为最优。
• 最优控制系数由极值费耶尔多项式导出，其中 $\varepsilon_1^0 = \alpha_1^0 - 1 \in (-1, 0)$，且对 $j \geq 2$ 有 $\varepsilon_j^0 = \alpha_j^0 \in (0,1)$，确保控制增益有界。
• 总控制增益大小 $\sum |\varepsilon_j| < 2$，与 $\mu^*$ 和 $N$ 无关，表明控制努力有界。
• 对于 $\mu \in [-2, -1)$ 的逻辑斯蒂映射，最优控制采用 $N^* = 1$，控制增益为 $\varepsilon_1^0 = -\frac{1}{3}, \varepsilon_2^0 = \frac{1}{3}$，以最小预历史实现系统稳定。