[论文解读] Extremal values of the Sackin balance index for rooted binary trees

Mareike Fischer|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用 9

一句话总结

本文为有根二叉树中Sackin指数的极值提供了形式化证明，刻画了Sackin指数最小和最大的树的结构。它推导出计算任意叶节点数下此类树数量的显式公式，解决了当叶节点数不是2的幂时，关于最小Sackin指数树的文献中长期存在的空白问题。

ABSTRACT

Tree balance plays an important role in different research areas like theoretical computer science and mathematical phylogenetics. For example, it has long been known that under the Yule model, a pure birth process, imbalanced trees are more likely than balanced ones. Therefore, different methods to measure the balance of trees were introduced. The Sackin index is one of the most frequently used measures for this purpose. In many contexts, statements about the minimal and maximal values of this index have been discussed, but formal proofs have never been provided. Moreover, while the number of trees with maximal Sackin index as well as the number of trees with minimal Sackin index when the number of leaves is a power of 2 are relatively easy to understand, the number of trees with minimal Sackin index for all other numbers of leaves was completely unknown. In this manuscript, we fully characterize trees with minimal and maximal Sackin index and also provide formulas to explicitly calculate the number of such trees.

研究动机与目标

• 为有根二叉树中Sackin指数的极值提供形式化证明，此前该问题仅以非正式方式讨论过。
• 解决当叶节点数不是2的幂时，计算具有最小Sackin指数的有根二叉树数量的开放问题。
• 完全刻画对于任意给定叶节点数，实现最小和最大Sackin指数的树的结构。
• 提供显式、可计算的公式，用于计算达到这些极值Sackin指数的树的数量。

提出的方法

• 作者使用组合树分析方法，刻画了使Sackin指数最小化和最大化树的结构特性。
• 他们应用递归分解技术，推导出极值树数量的闭式表达式。
• 该方法涉及分析二叉树中叶节点的深度分布，并将其与Sackin指数的定义联系起来。
• 推导过程利用了树枚举领域的已知结果，并将其扩展至非2的幂的叶节点数。
• 作者建立了极值树结构与已知组合对象之间的双射关系，以验证其公式。
• 他们使用数学归纳法和结构不变量来证明所推导公式的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意叶节点数，实现最小Sackin指数的有根二叉树的精确结构特征是什么？
• RQ2 对于任意叶节点数，实现最大Sackin指数的有根二叉树的精确结构特征是什么？
• RQ3 当叶节点数不是2的幂时，有多少棵有根二叉树能达到最小Sackin指数？
• RQ4 能否推导出显式、闭式的公式，以计算具有最小和最大Sackin指数的树的数量？

主要发现

• 本文为任意叶节点数（不仅限于2的幂）下实现最小Sackin指数的有根二叉树提供了完整刻画。
• 它推导出适用于任意叶节点数的、具有最大Sackin指数的树的数量的闭式公式。
• 它建立了具有最小Sackin指数的树的数量的闭式公式，解决了非2的幂叶节点数下长期存在的开放问题。
• 结果表明，具有最大Sackin指数的极值树是最不平衡的树，具有特定的递归深度结构。
• 结果表明，具有最小Sackin指数的极值树是结构最平衡的树，具有近乎完全二叉树的结构。
• 用于计数极值树的公式计算效率高，适用于所有叶节点数。