[论文解读] Extreme Eigenvalues of Wishart Matrices: Application to Entangled Bipartite System

Satya N. Majumdar|arXiv (Cornell University)|May 25, 2010

Random Matrices and Applications被引用 9

一句话总结

本文应用随机矩阵理论，通过分析在固定迹约束下Wishart矩阵的极端特征值，研究了双粒子量子系统中的纠缠。在硬边情形（M=N）下，推导出实、复和四元Wishart矩阵最小特征值的精确概率分布，揭示了由于有限尺寸效应，随机纯态为最大纠缠态的概率极低。

ABSTRACT

We discuss an application of the random matrix theory in the context of estimating the bipartite entanglement of a quantum system. We discuss how the Wishart ensemble (the earliest studied random matrix ensemble) appears in this quantum problem. The eigenvalues of the reduced density matrix of one of the subsystems have similar statistical properties as those of the Wishart matrices, except that their {\em trace is constrained to be unity}. We focus here on the smallest eigenvalue which serves as an important measure of entanglement between the two subsystems. In the hard edge case (when the two subsystems have equal sizes) one can fully characterize the probability distribution of the minimum eigenvalue for real, complex and quaternion matrices of all sizes. In particular, we discuss the important finite size effect due to the {\em fixed trace constraint}.

研究动机与目标

• 理解双粒子量子系统随机纯态纠缠的统计性质。
• 建立Wishart矩阵与纠缠量子系统约化密度矩阵之间的联系。
• 在固定迹约束下，表征极端特征值统计，特别是最小特征值。
• 量化由于迹归一化带来的纠缠度量中的有限尺寸效应。
• 利用最小特征值分布评估随机量子态为最大纠缠态的可能性。

提出的方法

• 将双粒子纠缠系统中子系统约化密度矩阵建模为具有固定迹的Wishart矩阵。
• 利用Wishart矩阵的联合特征值分布，推导最小特征值的概率密度函数（pdf）。
• 应用大N渐近分析及在硬边（M=N）处的贝塞尔函数行为，表征极端特征值统计。
• 计算累积概率 R_N(1/N - ε) 以估计接近最大纠缠的程度。
• 推导出三种Dyson类（β=1,2,4）在有限N下最小特征值pdf的精确表达式。
• 利用精确结果分析pdf在最大可能值1/N附近的衰减行为，显示 P_N(λ_min = x) ∼ (1 - Nx)^ν_β。

实验结果

研究问题

• RQ1 在固定迹约束下，Wishart矩阵最小特征值的精确概率分布是什么？
• RQ2 有限尺寸效应如何影响随机量子态为最大纠缠态的可能性？
• RQ3 在硬边极限（M=N）下，实、复和四元Wishart矩阵的最小特征值分布行为如何？
• RQ4 最小特征值的累积概率在1/N附近如何随系统尺寸缩放？
• RQ5 为何基于纠缠熵一阶矩的结论具有误导性？全分布如何解决这一问题？

主要发现

• 最小特征值的概率密度函数 P_N(λ_min = x, N) 在 x = 1/N 附近按 (1 - Nx)^ν_β 衰减，其中 ν_β 依赖于Dyson指数 β。
• 当 ε << 1/N 时，累积概率 R_N(1/N - ε) ∼ (εN)^{ν_β + 1}，表明最大纠缠态的概率在N上呈指数级小。
• 由于固定迹约束带来的有限尺寸效应，显著抑制了随机态为最大纠缠态的可能性。
• 精确分布表明，最小特征值通常远离开 1/N，这与仅基于冯·诺依曼熵一阶矩的结论相矛盾。
• 结果在硬边情形（M=N）下对所有N和β=1,2,4均为精确，ν_1, ν_2, ν_4 的表达式明确以N表示。
• 研究结果表明，典型的随机纯态并非最大纠缠态，尽管其平均值可能显示如此。