[论文解读] Extreme Geometric Quantiles Under Minimal Assumptions, with a Connection to Tukey Depth

Sibsankar Singha, Marie Kratz+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2026

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一句话总结

该论文推导出在高维空间中极值几何分位数范数的无矩上界和下界，并揭示下界与 Tukey 半空间深度之间的联系，对重尾分布具有含义。

ABSTRACT

Geometric (also known as spatial) quantiles, introduced by Chaudhury and representing one of the three principal approaches to defining multivariate quantiles, have been well studied in the literature. In this work, we focus on the extremal behaviour of these quantiles. We establish new extremal properties, namely general lower and upper bounds for the norm of extreme geometric quantiles, free of any moment conditions. We discuss the impact of such results on the characterization of distribution behaviour. Importantly, the lower bound can be directly linked to univariate quantiles and to halfspace (Tukey) depth central regions, highlighting a novel connection between these two fundamental notions of multivariate quantiles.

研究动机与目标

• 在高维中对几何（空间）分位数的极值行为进行动机说明与研究。
• 在不依赖矩条件的情况下推导几何分位数范数增长率的界限。
• 揭示极端几何分位数下界与 Tukey（半空间）深度之间的联系。
• 在最小假设下扩展现有结果并与单变量分位数相关联。
• 用数值示例说明结果并讨论对重尾分布的意义。

提出的方法

• 通过（2.1）中的最小化问题及等价形式（2.2）来定义几何分位数。
• 利用概率界限和基于矩的改进（定理3.1与推论3.2）推导||q_X(αu)||的一般上界。
• 通过锥体/夹角论证将极端分位区域与 Tukey 深度联系起来，给出几何基础下的下界（定理3.3）。
• 给出一个方向性的、可处理的下界，利用一元投影（定理3.7）。
• 分析几何常数M_γ的作用及其对维度和方向的依赖性（评注3.4）。
• 在有限三阶矩条件下，将结果推广到可积性条件和更高阶渐近（定理4.1）。

(a) Bivariate Gaussian distribution with standard Gaussian margins and $\rho=70\%$

实验结果

研究问题

• RQ1 在最小假设下，R^d中几何分位数的极值增长率是多少？
• RQ2 是否可以在没有有限矩的情况下给出极端几何分位数范数的界限，且如何？
• RQ3 极端几何分位数的下界与 Tukey 半空间深度之间有何联系？
• RQ4 方向投影如何影响高维中几何分位数的行为？
• RQ5 若存在更强的矩（如三阶矩），对几何分位数会出现何种高阶渐近？

主要发现

• 存在不要求矩条件的一般上界和下界，用于极端几何分位数范数（定理3.1与定理3.3）。
• 下界与 Tukey（半空间）深度相关，给出以单变量分位数表示的界限（定理3.7）。
• 在有限一阶矩条件下，上界在常数量纲内是紧致的，且尺度为O(1/(1−α))（推论3.2）。
• 对于正则变化尾部，界限与已知的MRV速率一致，凸显在那些情形下界的尖锐性（评注3.8与命题3.9）。
• 几何常数M_γ决定基于深度的包含关系，并影响α的可容许范围（评注3.4）。
• 若E||X||^3<∞，给出||q_X(αu)||的三阶展开，揭示偏斜性和尾部效应在渐近中的体现（定理4.1）。

(b) Student’s $t$ marginals with $\nu_{1}=3$ , $\nu_{2}=10$ , coupled via a Gaussian copula ( $\rho=70\%$ )