[论文解读] Extreme Value Laws for non stationary processes generated by sequential and random dynamical systems

Ana Cristina Moreira Freitas, Jorge Milhazes Freitas+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 35被引用 24

一句话总结

本文针对由连续和随机动力系统产生的非平稳随机过程，发展了一种广义极值理论，弱化了先前所需的均匀混合假设。它建立了对一致扩张映射和随机纤维系统极值定律，表明其收敛至威布尔或耿贝尔分布，具体取决于周期性和命中时间行为。

ABSTRACT

We develop and generalize the theory of extreme value for non-stationary stochastic processes, mostly by weakening the uniform mixing condition that was previously used in this setting. We apply our results to non-autonomous dynamical systems, in particular to {\\em sequential dynamical systems}, given by uniformly expanding maps, and to a few classes of random dynamical systems. Some examples are presented and worked out in detail.

研究动机与目标

• 通过弱化先前所需的均匀混合条件，推广极值理论（EVT）以适用于非平稳过程。
• 为由一致扩张映射生成的连续动力系统建立极值定律，尤其在非平稳测度下。
• 将EVT扩展至随机纤维动力系统，包括随机子移位系统和具有双曲基动力系统的系统。
• 为不存在不变测度的非自治系统提供理论框架，从而实现对罕见事件的统计分析。
• 在具体例子中验证极值收敛的条件，包括β变换和多维映射。

提出的方法

• 使用块构造方法解耦非平稳过程中的依赖性，从而可应用极值极限定理。
• 应用D-混合与D’-混合条件（D_q与D’_q），以控制极值依赖性，其中q > 2h₀/h₁确保足够快的衰减。
• 定义时间缩放阈值u_n与w_n，使得w_n ≈ τμ(φ > u_n)，与经典EVT的归一化方式一致。
• 将可观测量φ调整为映射点至柱集C_n(ζ)，其中φ(x) = g(μ(C_n(x)(ζ)))，以追踪罕见事件的命中时间。
• 应用推论5.1，通过验证P-渐近必然（a.e. ω）的条件(2.2)、D_q(u_n,i)、D’_q(u_n,i)和(2.8)，推导出极限分布。
• 利用转移算子及一致扩张映射的谱间隙性质，确保相关性指数衰减与记忆消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 由连续动力系统产生的非平稳过程在何种条件下满足极值定律？
• RQ2 点ζ的周期性如何影响连续系统中极值分布的极限形式？
• RQ3 能否为具有非平稳测度的随机纤维动力系统建立极值定律？
• RQ4 混合速率（通过D_q与D’_q量化）在确保收敛至极值分布中起什么作用？
• RQ5 命中时间分布与柱集测度如何影响非平稳设定下的极值行为？

主要发现

• 对于非周期点ζ，w_n个观测值最大值的极限分布收敛至耿贝尔分布：limₙ→∞ μ^ω(M_{w_n} ≤ u_n) = exp(−τ)。
• 对于周期为p的周期点ζ，极限分布为威布尔型律：limₙ→∞ μ^ω(M_{w_n} ≤ u_n) = exp(−θτ)，其中θ = limₙ→∞ μ(C_n(ζ) ackslash C_{n+p}(ζ)) / μ(C_n(ζ))。
• 当q > 2h₀/h₁时，条件D_q(u_n,i)成立，确保极值过程中依赖性的充分衰减。
• D’_q(u_n,i)的验证依赖于一致扩张系统中相关性的衰减以及转移算子的谱间隙。
• 时间尺度w_n = [τμ(φ > u_n)] 确保了适当的归一化，与经典EVT的尺度一致。
• 结果适用于β变换、随机加性噪声、多维一致扩张映射以及覆盖映射等特殊情况。