[论文解读] Extreme values of $|ζ(1+it)|$

Andrew Granville, K. Soundararajan|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2005

Meromorphic and Entire Functions参考文献 1被引用 13

一句话总结

本文利用概率模型和欧拉乘积逼近，建立了 $|\zeta(1+it)|$ 的极值分布，表明大值出现的频率遵循精确的指数衰减。在假设的密度模型下，证明了 $\max_{t \in [T,2T]} |\zeta(1+it)| \sim e^{\gamma}(\log_2 T + \log_3 T + C_1 + o(1))$，并为正比例的 $t$ 提供了下界 $e^{\gamma}(\log_2 T + \log_3 T - \log_4 T - \log A + O(1))$。

ABSTRACT

Improving a result of N. Levinson, we exhibit large and small values of $|ζ(1+it)|$.

研究动机与目标

• 确定大 $t$ 时 $|\zeta(1+it)|$ 极值的频率分布。
• 在区间 $[T,2T]$ 上建立关于 $|\zeta(1+it)|$ 最大值的猜想渐近公式。
• 将结果扩展至 $s=1$ 处的 $L$-函数及其倒数 $1/|\zeta(1+it)|$。
• 基于在素数上定义的随机乘法函数的概率模型，验证猜想的分布。
• 证明在 $[0,T]$ 中正比例的 $t$ 可达到接近猜想最大值的取值。

提出的方法

• 定义分布函数 $\Phi_T(\tau)$ 和 $\Psi_T(\tau)$，分别衡量在 $[T,2T]$ 中满足 $|\zeta(1+it)| > e^{\gamma}\tau$ 或 $< \frac{\pi^2}{6e^{\gamma}\tau}$ 的 $t$ 的比例。
• 使用概率模型 $L(1,X) = \prod_p (1 - X(p)/p)^{-1}$，其中 $X(p)$ 是单位圆上的独立均匀随机变量。
• 证明该随机模型的尾部概率 $\Phi(\tau)$ 和 $\Psi(\tau)$ 与 $\Phi_T(\tau)$ 和 $\Psi_T(\tau)$ 的渐近行为一致，当 $1 \ll \tau \leq \log_2 T - 20$ 时成立。
• 应用抽屉原理构造一组 $t$-值，使得 $|\zeta(1+it)|$ 超过 $e^{\gamma}(\log_2 T + \log_3 T - \log_4 T - \log A + O(1))$。
• 利用佩龙公式和零密度区域控制 $\log \zeta(\sigma + it)$ 的狄利克雷多项式逼近中的误差项。
• 通过矩估计分析随机欧拉乘积的方差，并利用大筛法控制模素数的特征之间的相关性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于大 $\tau$，满足 $|\zeta(1+it)| > e^{\gamma}\tau$ 的 $t$ 的频率是多少？
• RQ2 观测到的极值分布是否能支持 $[T,2T]$ 上 $|\zeta(1+it)|$ 猜想最大值的结论？
• RQ3 倒数 $1/|\zeta(1+it)|$ 的极值行为如何？其出现频率如何？
• RQ4 $|\zeta(1+it)|$ 的分布性质在多大程度上与随机欧拉乘积一致？
• RQ5 类似结果能否推广至模大素数的狄利克雷特征 $\chi$ 的 $|L(1,\chi)|$？

主要发现

• 当 $1 \ll \tau \leq \log_2 T - 20$ 时，满足 $|\zeta(1+it)| > e^{\gamma}\tau$ 的 $t \in [T,2T]$ 的比例渐近为 $\exp\left(-\frac{2e^{\tau - C - 1}}{\tau}\left(1 + O\left(\frac{1}{\tau^{1/2}} + \left(\frac{e^{\tau}}{\log T}\right)^{1/2}\right)\right)\right)$。
• 对于满足 $|\zeta(1+it)| < \frac{\pi^2}{6e^{\gamma}\tau}$ 的 $t$，该渐近公式同样成立，表明极值尾部行为具有对称性。
• 存在一个测度至少为 $T^{1 - 1/A}$ 的 $t \in [0,T]$ 的集合，使得对任意 $A \geq 10$，有 $|\zeta(1+it)| \geq e^{\gamma}(\log_2 T + \log_3 T - \log_4 T - \log A + O(1))$。
• 指数中的常数 $C$ 由下式给出：$C = \int_0^2 \log I_0(t) \frac{dt}{t^2} + \int_2^\infty (\log I_0(t) - t) \frac{dt}{t^2}$，其中 $I_0(t)$ 为修正贝塞尔函数。
• 结果可直接推广至模大素数 $q$ 的非平凡狄利克雷特征 $\chi$ 的 $|L(1,\chi)|$，只需将 $T$ 替换为 $q$。
• 当在 $q \in [P,2P]$ 上平均时，$|L(1,\chi)|$ 的分布函数在范围 $1 \ll \tau \leq \log_2 P + \log_3 P - O(1)$ 内被良好逼近，且误差项得到改善。