[论文解读] Extreme values of the Dedekind $\\Psi$ function

Patrick Solé, Michel Planat|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2010

Analytic Number Theory Research被引用 5

一句话总结

本文研究了 Dedekind Ψ 函数的极端值，无条件证明了对所有 $ n \geq 31 $，比值 $ R(n) = \Psi(n)/(n\log\log n) $ 严格小于 $ e^{\gamma} $。本文建立了一个新等价关系：对所有 $ n \geq 3 $，不等式 $ R(N_n) > e^{\gamma}/\zeta(2) $ 成立，其中 $ N_n $ 为前 $ n $ 个素数的 primorial，该条件等价于黎曼假设。

ABSTRACT

Let $\\Psi(n):=n\\prod_{p | n}(1+\\frac{1}{p})$ denote the Dedekind $\\Psi$ function. Define, for $n\\ge 3,$ the ratio $R(n):=\\frac{\\Psi(n)}{n\\log\\log n}.$ We prove unconditionally that $R(n)< e^\\gamma$ for $n\\ge 31.$ Let $N_n=2...p_n$ be the primorial of order $n.$ We prove that the statement $R(N_n)>\\frac{e^\\gamma}{\\zeta(2)}$ for $n\\ge 3$ is equivalent to the Riemann Hypothesis.

研究动机与目标

• 分析 Dedekind Ψ 函数的极端值，特别是其相对于 $ n\log\log n $ 的最大增长速率。
• 建立 $ R(n) = \Psi(n)/(n\log\log n) $ 的无条件上界，证明对所有 $ n \geq 31 $，有 $ R(n) < e^{\gamma} $。
• 研究 $ R(N_n) $ 在 primorial 数处的行为与黎曼假设（RH）之间的联系。
• 证明对所有 $ n \geq 3 $，不等式 $ R(N_n) > e^{\gamma}/\zeta(2) $ 成立，当且仅当黎曼假设成立，从而为黎曼假设提供了新的算术判别准则。
• 通过乘法数论方法，将关于 Euler totient 函数和除数函数的已知结果推广至 Dedekind Ψ 函数。

提出的方法

• 定义比值 $ R(n) = \Psi(n)/(n\log\log n) $ 以归一化 $ \Psi(n) $ 的增长，其动机来自渐近分析。
• 使用 primorial 数 $ N_n = \prod_{k=1}^n p_k $ 作为最大化 $ \Psi(n)/n $ 的候选极值点，已证明其为该比值的冠军数。
• 应用 Mertens 的乘积公式与素数定理，推导出渐近式 $ \Psi(N_n)/N_n \sim \frac{e^{\gamma}}{\zeta(2)} \log p_n $，从而得到 $ \lim_{n\to\infty} R(N_n) = \frac{e^{\gamma}}{\zeta(2)} $。
• 利用已知的 Euler 乘积不等式，对 $ \Psi(N_n)/N_n $ 建立显式上界：$ \prod_{p\leq x}(1-1/p)^{-1} \leq e^{\gamma}(\log x + 1/\log x) $ 与 $ \prod_{p>p_n}(1-1/p^2)^{-1} \leq \exp(2/p_n) $。
• 将这些上界与对 $ \log\log N_n $ 和 $ \log p_n $ 的估计相结合，证明对所有 $ n \geq 4 $，有 $ R(N_n) < e^{\gamma} $，并通过数值验证将其推广至所有 $ n > 30 $。
• 利用恒等式 $ \varphi(n)\Psi(n)/n^2 = \prod_{p|n}(1-1/p^2) $ 将 $ \Psi(n) $ 与 Euler totient 函数关联，并导出下界 $ \varphi(n)\Psi(n) > n^2/\zeta(2) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 比值 $ R(n) = \Psi(n)/(n\log\log n) $ 的上确界是多少？对于所有足够大的 $ n $，它是否始终被 $ e^{\gamma} $ 控制？
• RQ2 Primorial 数 $ N_n $ 是否为比值 $ \Psi(n)/n $ 的极值点？它们是否在最大化 $ R(n) $ 时优于所有其他整数？
• RQ3 能否利用 $ R(N_n) $ 在 primorial 数处的行为，构建一个等价于黎曼假设的判别准则？
• RQ4 对所有 $ n \geq 3 $，不等式 $ R(N_n) > e^{\gamma}/\zeta(2) $ 是否等价于黎曼假设的成立？
• RQ5 与 Euler totient 函数和除数函数相比，Dedekind Ψ 函数在极端增长和算术界方面有何异同？

主要发现

• 比值 $ R(n) = \Psi(n)/(n\log\log n) $ 对所有 $ n \geq 31 $ 满足 $ R(n) < e^{\gamma} $，该结论无条件成立。
• 在 primorial 数处，$ R(N_n) $ 的渐近行为满足 $ \lim_{n\to\infty} R(N_n) = \frac{e^{\gamma}}{\zeta(2)} \approx 1.08 $，该结果由 Mertens 公式与素数定理推导得出。
• 对于 $ n \geq 4 $，由于对 Euler 乘积和对数项的显式估计，有 $ R(N_n) < e^{\gamma} $。
• 对所有 $ n \geq 3 $，不等式 $ R(N_n) > \frac{e^{\gamma}}{\zeta(2)} $ 成立，当且仅当黎曼假设成立，该结论通过与 Nicolas 对 Euler totient 函数的准则比较得出。
• 在黎曼假设成立的前提下，对所有 $ n \geq 3 $，有 $ R(N_n) > \frac{e^{\gamma}}{\zeta(2)} $；若黎曼假设不成立，该不等式仍对无穷多个 $ n $ 成立。
• 函数 $ \varphi(n)\Psi(n) $ 满足双重不等式 $ n^2 > \varphi(n)\Psi(n) > n^2/\zeta(2) $，其中下界在无限乘积意义下是紧的。