[论文解读] Extremely chaotic Boolean networks

Winfried Just, Germán Enciso|ArXiv.org|Nov 1, 2008

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文证明，即使在强烈倾向于有序动力学的约束条件下——如有界输入、偏向性和可及性调节函数，以及较少的负反馈回路——布尔网络仍可能表现出极其混沌的行为，其周期轨道呈指数级增长。关键结果表明，此类网络必须包含大量作为其他变量延迟副本的变量，其结构类似于一个具有磁带的小型图灵机。

ABSTRACT

It is an increasingly important problem to study conditions on the structure of a network that guarantee a given behavior for its underlying dynamical system. In this paper we report that a Boolean network may fall within the chaotic regime, even under the simultaneous assumption of several conditions which in randomized studies have been separately shown to correlate with ordered behavior. These properties include using at most two inputs for every variable, using biased and canalyzing regulatory functions, and restricting the number of negative feedback loops. We also prove for n-dimensional Boolean networks that if in addition the number of outputs for each variable is bounded and there exist periodic orbits of length c^n for c sufficiently close to 2, any network with these properties must have a large proportion of variables that simply copy previous values of other variables. Such systems share a structural similarity to a relatively small Turing machine acting on one or several tapes.

研究动机与目标

• 研究已知可诱导随机布尔网络中有序动力学的属性组合，是否仍可能允许出现极端混沌行为。
• 严格确定在何种条件下，$ c $-混沌行为（周期轨道呈指数级增长）可在结构约束下持续存在。
• 分析当调节函数具有偏向性、可及性，且负反馈回路较少时，$ c $-混沌行为的结构影响。
• 建立在这些约束下，$ c $-混沌网络必须包含大量作为其他变量复制或取反值的变量（具有时间延迟）的结论。
• 形式化此类混沌网络与具有少量核心变量和磁带的布尔延迟系统的等价性。

提出的方法

• 将 $ c $-混沌布尔网络定义为周期轨道长度至少为 $ c^n $ 的网络，其中 $ c $ 接近 2。
• 引入记忆变量的概念——即对其他变量进行直接或取反复制并带有时间延迟的变量，使用只读磁带的概念。
• 构建一个等价的布尔延迟系统 $ (Σ, f) $，其中动力学由延迟输入决定，形式为 $ f_i(t) = g_i(\text{delayed inputs}) $，延迟 $ \ell(k) $ 表示磁带长度。
• 证明任何 $ c $-混沌的 $ \varepsilon $-偏向 $ (b,r) $-布尔系统，当 $ c $ 足够接近 2 时，必须等价于一个最多包含 $ \alpha n $ 个变量的延迟系统，其中 $ \alpha > 0 $ 为任意给定值。
• 利用磁带长度最小公倍数的数论界，证明只读磁带无法支持长周期轨道，除非其总大小为次线性。
• 应用对分拆整数最大最小公倍数的渐近估计，限制只读部分中不同状态的数量，从而在过多变量处于此类磁带时导致矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 当调节函数被限制为最多两个输入时，布尔网络是否仍可保持 $ c $-混沌，且 $ c $ 可任意接近 2？
• RQ2 偏向性、可及性函数与较少负反馈回路的组合是否能阻止存在指数级长周期轨道？
• RQ3 在这些约束下，$ c $-混沌网络必须具备何种结构特征？
• RQ4 具有延迟复制或取反其他变量值的变量的存在，如何影响整体动力学？
• RQ5 此类网络在多大程度上可被简化为具有少量核心活跃变量的等价布尔延迟系统？

主要发现

• 即使在强烈倾向于有序的约束条件下——如输入有界、函数偏向且可及、负反馈回路较少——布尔网络仍可能表现出 $ c $-混沌动力学，且 $ c $ 可任意接近 2。
• 任何 $ c $-混沌的 $ n $-维 $ \varepsilon $-偏向 $ (b,r) $-布尔系统，当 $ c $ 足够接近 2 时，必须等价于一个最多包含 $ \alpha n $ 个变量的布尔延迟系统，其中 $ \alpha > 0 $ 为任意给定值。
• 作为其他变量直接或取反复制（即延迟副本）的变量数量必须至少为 $ (1 - \alpha)n $，意味着网络的大部分功能如同基于磁带的记忆系统。
• 只读磁带——即以固定延迟复制或取反其他变量值的变量——最多可支持 $ 2 \cdot \text{lcm}(\{m_1,\dots,m_v\}) $ 种不同状态，其中 $ \sum m_i = |R(g)| $，这限制了其对周期长度的贡献。
• 若只读变量数量超过 $ \delta n $（$ \delta > 0 $ 为任意固定值），则最大周期长度被限制为 $ 2^{(1-\delta)n} \cdot e^{\sqrt{n \ln n}(1+o(1))} $，当 $ c > 2^{1-\delta} $ 且 $ n $ 足够大时，该值小于 $ c^n $。
• 因此，当 $ c $ 接近 2 时，$ c $-混沌仅在记忆变量数量庞大、且只读部分大小为次线性时才可能实现，这迫使系统模拟一个具有磁带的小型图灵机。