[论文解读] Extremes of Chi-square Processes with Trend

Peng Liu, Lanpeng Ji|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文推导了具有多项式趋势的非中心卡方过程在自相似高斯过程驱动下的精确尾部渐近行为。在相关结构的局部平稳条件下，建立了涉及Pickands常数和Piterbarg常数的精确渐近表达式，扩展了风险理论与排队系统中 ruin 概率和首达时问题的结果。

ABSTRACT

This paper studies the supremum of a chi-square process with trend over a threshold-dependent-time horizon. Under the assumption that the chi-square process is generated from a centered self-similar Gaussian process and the trend function is modeled by a polynomial function, we obtain the exact tail asymptotics of the supremum of the chi-square process with trend. These results are of interest in applications in engineering, insurance, queueing and statistics, etc. Some possible extensions of our results are also discussed.

研究动机与目标

• 分析在可能依赖于阈值的时间范围内，具有确定性多项式趋势的卡方过程上确界的尾部行为。
• 通过引入非恒定趋势函数，扩展现有卡方过程结果，尤其适用于保险与工程应用。
• 推导具有时变安全区域或保费函数的模型中 ruin 概率与首达时的精确渐近表达式。
• 通过允许异质缩放系数与更一般的相关结构，推广先前关于非平稳高斯过程的研究成果。
• 为涉及带趋势的卡方过程的极限检验统计量提供理论基础，该基础在统计推断中具有相关性。

提出的方法

• 将卡方过程建模为具有指数 $ H \in (0,1) $ 的中心自相似高斯过程的独立副本平方和，满足 $ \mathrm{Var}(Y(t)) = t^{2H} $。
• 引入多项式趋势函数 $ ct^\beta $，其中 $ c, \beta > 0 $，以表示保险盈余或安全区域中的时变漂移。
• 在最大点 $ t_0 $ 附近对底层高斯过程的相关结构施加局部平稳性假设，要求当 $ s,t \to t_0 $ 时，有 $ \mathrm{Corr}(Y(s), Y(t)) = 1 - d|t-s|^\nu(1+o(1)) $。
• 使用高斯随机场的Fernique型不等式控制尾部概率并建立指数矩界。
• 采用测度变换技术并结合最大点附近的渐近分析，推导尾部概率的主导阶行为。
• 利用Pickands与Piterbarg常数推导渐近表达式，这些常数在具有平稳增量的高斯过程上确界分布分析中自然出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在依赖于阈值的时间范围内，具有多项式趋势的卡方过程上确界的精确尾部渐近行为是什么？
• RQ2 在自相似高斯过程驱动的风险模型中，确定性趋势的存在如何影响 ruin 概率？
• RQ3 具有趋势的卡方过程的首达时的渐近行为如何？其条件近似方法是什么？
• RQ4 当底层高斯过程非同分布或具有更一般相关结构时，结果是否可推广？
• RQ5 在局部平稳条件下，Pickands 与 Piterbarg 常数如何在具有趋势的卡方过程渐近分析中自然出现？

主要发现

• 对于无限时间范围（$ T = \infty $），带趋势的卡方过程上确界的尾部渐近行为被证明为 $ \psi_\infty(u) \sim C \cdot u^{-\alpha} \cdot e^{-u/2} $，当 $ u \to \infty $ 时，其中 $ C $ 涉及 Pickands 与 Piterbarg 常数。
• 当时间范围为阈值相关（$ T = T_u $）时，渐近行为由多项式趋势指数 $ \beta $ 的修正标度决定，导致不同的归一化方式与极限常数。
• 由式 (2) 定义的过程的条件首达时被渐近近似，其生存概率以由趋势与相关结构决定的速率呈指数衰减。
• 引理由 2.2 段导出的 Fernique 型不等式为高斯随机场的尾部行为提供了关键界，从而实现了对时间上确界的控制。
• 结果被推广至 $ Y_i $ 独立但非同分布的情形，且相关结构满足广义局部平稳性条件。
• 只要最大点附近的局部行为与假设的幂律衰减一致，渐近表达式对相关结构的扰动表现出鲁棒性。