[论文解读] Extremes of local times for simple random walks on symmetric trees

Yoshihiro Abe|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文研究了在深度为 $n$ 的 $b$-叉树上简单对称随机游走的局部时的极值行为，表明编码深度为 $r_n$ 的子树中局部时最大值位置及其适当中心化后的点过程，弱收敛于强度为 $\alpha Z_\infty(dx) \otimes e^{-2\sqrt{\log b}\, y}dy$ 的 Cox 过程，其中 $Z_\infty$ 是一个临界随机乘法级数测度。作为推论，叶节点上局部时的最大值依分布收敛于一个随机平移的 Gumbel 分布。

ABSTRACT

We consider local times of the simple random walk on the $b$-ary tree of depth $n$ and study a point process which encodes the location of the vertex with the maximal local time and the properly centered maximum over leaves of each subtree of depth $r_n$ rooted at the $(n-r_n)$ level, where $(r_n)_{n \geq 1}$ satisfies $\lim_{n o \infty} r_n = \infty$ and $\lim_{n o \infty} r_n/n \in [0, 1)$. We show that the point process weakly converges to a Cox process with intensity measure $αZ_{\infty} (dx) \otimes e^{-2\sqrt{\log b}~y}dy$, where $α> 0$ is a constant and $Z_{\infty}$ is a random measure on $[0, 1]$ which has the same law as the limit of a critical random multiplicative cascade measure up to a scale factor. As a corollary, we establish convergence in law of the maximum of local times over leaves to a randomly shifted Gumbel distribution.

研究动机与目标

• 分析简单随机游走在 $b$-叉树上的极值局部时的渐近分布。
• 理解编码深度为 $r_n$ 的子树中具有最大局部时的顶点的点过程的结构。
• 建立该点过程弱收敛于由临界随机乘法级数测度 $Z_\infty$ 驱动的 Cox 过程。
• 推导叶节点上局部时最大值的极限分布，并将其与极值理论联系起来。

提出的方法

• 定义一个点过程 $\Xi_{n,t}^{(m)}$，记录在第 $n - r_n$ 层根的深度为 $r_n$ 的每个子树中，空间位置 $\sigma(\text{argmax})$ 和中心化后的最大局部时。
• 使用包含 $\sqrt{\log b}\, n$、$\log n$ 和 $\log((\sqrt{t}+n)/\sqrt{t})$ 的中心化序列 $a_n(t)$ 来稳定最大值，以实现收敛。
• 应用广义的第二 Ray-Knight 定理，将局部时与高斯场联系起来，并与分支随机游走（BRW）建立联系。
• 利用导出鞅 $D_\infty$ 和临界随机乘法级数测度 $Z_\infty$ 的收敛性，刻画极限强度测度。
• 使用大偏差估计和耦合论证，控制重叠子树中同时出现最大值的概率。
• 通过矩和相关性界建立弱收敛性，利用首次 hitting 时间的估计和布朗运动近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 在树深度 $n \to \infty$ 时，对称树上子树的极值局部时点过程是否弱收敛？
• RQ2 $b$-叉树上局部时极值点过程的极限强度测度是什么？
• RQ3 叶节点上局部时最大值的渐近行为如何？它是否收敛于 Gumbel 分布？
• RQ4 临界随机乘法级数测度 $Z_\infty$ 在描述极值局部时的空间结构中起什么作用？
• RQ5 在 $r_n \to \infty$ 且 $r_n/n \in [0,1)$ 的一般缩放下，该收敛性是否仍可成立？

主要发现

• 编码深度为 $r_n$ 的子树中位置与中心化最大局部时的点过程 $\Xi_{n,t}^{(m)}$ 弱收敛于强度测度为 $\alpha Z_\infty(dx) \otimes e^{-2\sqrt{\log b}\, y}dy$ 的 Cox 过程，其中 $\alpha > 0$ 为常数。
• 极限随机测度 $Z_\infty$ 的分布与临界随机乘法级数测度极限的分布相同，仅相差一个尺度因子。
• 叶节点上局部时的最大值依分布收敛于一个随机平移的 Gumbel 分布，证实了对数相关场中的普遍性。
• 中心化序列 $a_n(t)$ 明确构造，以考虑最大 hitting 时间的增长和局部时场的缩放。
• 使用分支随机游走（BRW）最大值的尾部估计来控制极值局部时事件的概率，界限中包含 $e^{-2\sqrt{\log b}\, y}$ 和 $e^{-c y^2/n}$。
• 在条件 $\lim_{n\to\infty} r_n = \infty$ 且 $\lim_{n\to\infty} r_n/n \in [0,1)$ 下，收敛性成立，确保了子树深度足够以实现渐近稳定性。