[论文解读] Extremes of Order Statistics of Stationary Processes

Krzysztof Dȩbicki, Enkelejd Hashorva+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2014

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文在 Albin 条件下，推导了 n 个独立同分布的平稳过程的第 r 个顺序统计过程在时间区间 [0,T] 内超过高阈值 u 的概率的精确渐近展开。研究建立了偏斜正态过程的尾部渐近性质，并为高斯过程的极小值建立了 Gumbel 极限定理，将 Li 和 Shao 的正态比较引理推广至极值顺序统计量。

ABSTRACT

Let $\{X_i(t),t\ge0\}, 1\le i\le n$ be independent copies of a stationary process $\{X(t), t\ge0\}$. For given positive constants $u,T$, define the set of $r$th conjunctions $ C_{r,T,u}:= \{t\in [0,T]: X_{r:n}(t) > u\}$ with $X_{r:n}(t)$ the $r$th largest order statistics of $X_1(t), \ldots , X_n(t), t\ge 0$. In numerous applications such as brain mapping and digital communication systems, of interest is the approximation of the probability that the set of conjunctions $C_{r,T,u}$ is not empty. Imposing the Albin's conditions on $X$, in this paper we obtain an exact asymptotic expansion of this probability as $u$ tends to infinity. Further, we establish the tail asymptotics of the supremum of a generalized skew-Gaussian process and a Gumbel limit theorem for the minimum order statistics of stationary Gaussian processes. As a by-product we derive a version of Li and Shao's normal comparison lemma for the minimum and the maximum of Gaussian random vectors.

研究动机与目标

• 推导在 [0,T] 时间区间内，第 r 个顺序统计过程超过高阈值 u 的概率的精确渐近展开式。
• 将 Li 和 Shao 的正态比较引理推广至高斯随机向量的最小值与最大值。
• 建立偏斜正态过程的顺序统计过程上确界尾部渐近性质。
• 证明平稳高斯过程的最小顺序统计量的 Gumbel 极限定理。
• 为 FMRI、脑图谱绘制以及涉及罕见联合事件的数字通信等应用提供理论基础。

提出的方法

• 对平稳过程 X 施加 Albin 条件（Gumbel 极值吸引域、条件极限、短暂超出），
• 通过时间尺度变换与条件极限定理分析顺序统计量的超出行为。
• 应用 Li 和 Shao 正态比较引理的推广形式，以控制高斯向量联合尾部概率的差异。
• 推导当 u→∞ 时，P(sup_{t∈[0,T]} X_{r:n}(t) > u) 的精确渐近展开式。
• 通过极值理论，建立平稳高斯过程极小值的 Gumbel 极限定理。
• 利用 Slepian 不等式与积分界控制极值顺序统计量的尾部差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 在满足 Albin 条件的平稳过程中，当 u→∞ 时，P(sup_{t∈[0,T]} X_{r:n}(t) > u) 的精确渐近行为是什么？
• RQ2 偏斜正态过程的尾部特性如何影响其顺序统计过程上确界的分布？
• RQ3 Li 和 Shao 的正态比较引理能否推广至处理高斯向量的最小值与最大值顺序统计量？
• RQ4 在高阈值下，平稳高斯过程的最小顺序统计量的极限分布是什么？
• RQ5 广义的 Albin 常数如何影响联合概率渐近近似的精度？

主要发现

• 本文在 Albin 条件下，推导出当 u→∞ 时，P(C_{r,T,u} ≠ ∅) = P(sup_{t∈[0,T]} X_{r:n}(t) > u) 的精确渐近展开式。
• 建立了偏斜正态过程的顺序统计过程上确界的尾部渐近性质，将结果拓展至高斯模型之外。
• 证明了平稳高斯过程最小顺序统计量的 Gumbel 极限定理，确认其收敛至 Gumbel 分布。
• 推导出适用于高斯向量最小值与最大值顺序统计量的新版 Li 和 Shao 正态比较引理。
• 联合尾部概率差异的界中包含一个与 n u^{-2(n-1)} exp(-n u^2 / (1 + ρ_{il})) 成比例的项，表明其在 n 和 u 上呈指数衰减。
• 证明依赖于通过一组相关结构可变的高斯过程实现的随机耦合，从而实现对尾部的精确比较。