[论文解读] Extremes of transient Gaussian fluid queues

Krzysztof Dȩbicki, Peng Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2017

Advanced Queuing Theory Analysis被引用 1

一句话总结

本文推导了在瞬态高斯流体排队模型中尾部概率 $\mathbb{P}(Q(T_u) > u)$ 的精确渐近行为，其中 $Q(t)$ 表示由具有平稳增量的中心化高斯过程驱动的队列长度。在温和条件下，识别出两种不同的情形——短时间（$T_u$ 相对于 $u$ 较小）与中等/长时间（$T_u$ 相对于 $u$ 较大）——并在每种情形下建立了精确的尾部行为，对过程收敛到平稳分布的速度具有启示意义。

ABSTRACT

This contribution investigates asymptotic properties of transient queue length process $$ Q(t)=\max\left(x+X(t)-ct, \sup_{0\leq s\leq t}\left(X(t)-X(s)-c(t-s) ight) ight), t\geq 0 $$ in Gaussian fluid queueing model, where input process $X$ is modeled by a centered Gaussian process with stationary increments, $c>0$ is the output rate and $x=Q(0)\ge0$. More specifically, under some mild conditions on $X$, exact asymptotics of $$\mathbb{P}\left(Q(T_u)>u ight) $$ as $u o\infty$, is derived. The play between $u$ and $T_u$ leads to two qualitatively different regimes: (A) short-time horizon when $T_u$ is relatively small with respect to $u$; (B) moderate- or long-time horizon when $T_u$ is asymptotically much larger than $u$. As a by-product, some implications for the speed of convergence to stationarity of the considered model are discussed.

研究动机与目标

• 分析具有平稳增量的高斯流体排队模型中瞬态队列长度过程的渐近行为。
• 在不同时间尺度情形下，刻画当 $u \to \infty$ 时尾部概率 $\mathbb{P}(Q(T_u) > u)$ 的特征。
• 基于 $T_u$ 与 $u$ 的相对增长，识别并区分两种定性不同的情形。
• 在每种情形下推导尾部概率的精确渐近形式，尤其关注极端值情形。
• 探讨结果对模型中收敛到平稳性的速度的影响。

提出的方法

• 将输入过程 $X(t)$ 建模为具有平稳增量的中心化高斯过程，并将队列长度 $Q(t)$ 定义为漂移调整过程与其过去最大赤字的上确界。
• 在 $u \to \infty$ 的极限下分析尾部概率 $\mathbb{P}(Q(T_u) > u)$，其中 $T_u$ 依赖于 $u$。
• 应用大偏差技术与路径分析方法，研究队列长度过程的罕见事件行为。
• 区分两种情形：(A) $T_u$ 相对于 $u$ 较小，(B) $T_u$ 远大于 $u$，依据时间尺度的差异。
• 利用高斯过程的样本路径性质，在每种情形下推导精确渐近形式，依赖于过程的正则变体性质与极值行为。
• 通过分析每种情形下导致大队列长度的最可能路径，推导 $\mathbb{P}(Q(T_u) > u)$ 的渐近形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $T_u$ 相对于 $u$ 较小时，尾部概率 $\mathbb{P}(Q(T_u) > u)$ 在 $u \to \infty$ 时的行为如何？
• RQ2 当 $T_u$ 的增长远快于 $u$ 时，$\mathbb{P}(Q(T_u) > u)$ 的精确渐近形式是什么？
• RQ3 在短时间与长时间时间尺度下，队列长度过程的极值行为在结构上存在哪些差异？
• RQ4 渐近结果如何与瞬态高斯流体队列中收敛到平稳性的速度相关联？
• RQ5 具有平稳增量的底层高斯过程的样本路径性质在决定尾部行为方面起到何种作用？

主要发现

• 在短时间情形下（$T_u$ 相对于 $u$ 较小），尾部概率 $\mathbb{P}(Q(T_u) > u)$ 的衰减速率由输入过程在缩小时间区间上的最大值决定。
• 在中等或长时间情形下（$T_u \gg u$），尾部概率由长时间范围内累积输入发生大偏差的可能性所主导。
• 在输入过程 $X$ 的温和条件下，$\mathbb{P}(Q(T_u) > u)$ 的精确渐近形式可表示为闭式表达。
• 两种情形表现出根本不同的标度行为：短时间情形由局部路径行为主导，而长时间情形则依赖于全局大偏差性质。
• 结果表明，由于更重的尾部行为，瞬态高斯流体队列在长时间情形下的收敛到平稳性过程更慢。
• 分析表明，队列长度的极值行为对观测时间尺度相对于阈值 $u$ 的相对大小非常敏感。