[论文解读] Extrinsic Methods for Coding and Dictionary Learning on Grassmann Manifolds

Mehrtash Harandi, Richard Hartley+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2014

Face and Expression Recognition参考文献 69被引用 4

一句话总结

该论文通过使用等距映射将子空间嵌入对称矩阵，提出了一种在格拉斯曼流形上进行稀疏编码与字典学习的外蕴方法，实现了高效计算。该方法通过利用弦均值和核化希尔伯特空间嵌入，在视频和图像集任务中实现了最先进水平的分类准确率。

ABSTRACT

Sparsity-based representations have recently led to notable results in various visual recognition tasks. In a separate line of research, Riemannian manifolds have been shown useful for dealing with features and models that do not lie in Euclidean spaces. With the aim of building a bridge between the two realms, we address the problem of sparse coding and dictionary learning over the space of linear subspaces, which form Riemannian structures known as Grassmann manifolds. To this end, we propose to embed Grassmann manifolds into the space of symmetric matrices by an isometric mapping. This in turn enables us to extend two sparse coding schemes to Grassmann manifolds. Furthermore, we propose closed-form solutions for learning a Grassmann dictionary, atom by atom. Lastly, to handle non-linearity in data, we extend the proposed Grassmann sparse coding and dictionary learning algorithms through embedding into Hilbert spaces. Experiments on several classification tasks (gender recognition, gesture classification, scene analysis, face recognition, action recognition and dynamic texture classification) show that the proposed approaches achieve considerable improvements in discrimination accuracy, in comparison to state-of-the-art methods such as kernelized Affine Hull Method and graph-embedding Grassmann discriminant analysis.

研究动机与目标

• 解决在格拉斯曼流形上的稀疏编码与字典学习问题，其中子空间代表图像集或视频序列等数据。
• 通过将流形外蕴嵌入对称矩阵空间，克服内在黎曼方法带来的计算负担。
• 在格拉斯曼流形上开发一种高效、逐原子的字典学习算法。
• 通过核诱导的希尔伯特空间嵌入，将框架扩展至处理非线性数据。
• 与现有最先进方法相比，提升视觉识别任务中的判别准确率。

提出的方法

• 通过保持弗罗贝尼乌斯范数的等距映射，将格拉斯曼流形嵌入对称矩阵空间，从而支持欧氏空间中的运算。
• 通过最小化数据子空间与嵌入空间中字典原子线性组合之间的弗罗贝尼乌斯范数，构建格拉斯曼流形上的稀疏编码。
• 使用弦均值——一种基于嵌入矩阵之和投影的闭式解——作为多个子空间的均值，确保计算效率。
• 通过迭代优化嵌入表示下的稀疏编码目标，逐个原子地学习格拉斯曼字典。
• 通过核函数将嵌入矩阵映射到高维希尔伯特空间，将框架扩展至非线性数据。
• 利用等距性质，确保弦均值与稀疏编码目标在嵌入空间中仍保持计算可处理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过将格拉斯曼流形外蕴嵌入对称矩阵空间，实现高效的格拉斯曼流形稀疏编码？
• RQ2 如何以计算高效的方式逐原子地学习格拉斯曼字典？
• RQ3 通过核函数将格拉斯曼数据嵌入希尔伯特空间，是否能提升非线性数据上的性能？
• RQ4 与内在黎曼稀疏编码相比，所提方法在准确率与计算成本方面表现如何？
• RQ5 所提框架能否在涉及图像集与视频序列的视觉识别任务中实现最先进性能？

主要发现

• 所提外蕴方法在性别识别、手势分类、场景分析、人脸识别、动作识别与动态纹理分类任务中，显著提升了分类准确率。
• 弦均值提供了对格拉斯曼流形上迭代黎曼均值的闭式、计算高效的替代方案。
• 由于避免了对数映射，逐原子字典学习算法收敛更快，且在可扩展性上优于内在方法。
• 将嵌入映射至希尔伯特空间的核化方法，显著提升了非线性数据上的性能，优于核化仿射壳法与图嵌入格拉斯曼判别分析等方法。
• 等距嵌入保留了黎曼结构，使得稀疏编码可精确执行，近似误差最小化。
• 实证结果表明，所提方法在六个基准视觉识别任务中持续优于最先进方法。