[论文解读] F-index of graphs based on four operations related to the lexicographic product

Nilanjan De|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2017

Graph theory and applications参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文推导了基于字典积的四种新图运算的F-指数（顶点度数的立方和）的显式公式，利用第一张图的四个导出图（S、R、Q、T）。结果图 $ G_1[G_2]_F $ 的F-指数以 $ G_1 $ 和 $ G_2 $ 的基本不变量表示，包括第一和第二Zagreb指数、F-指数、超-Zagreb指数以及重定义Zagreb指数。

ABSTRACT

The forgotten topological index or F-index of a graph is defined as the sum of cubes of the degree of all the vertices of the graph. In this paper we study the F-index of four operations related to the lexicographic product on graphs which were introduced by Sarala et al. [D. Sarala, H. Deng, S.K. Ayyaswamya and S. Balachandrana, The Zagreb indices of graphs based on four new operations related to the lexicographic product, extit{Applied Mathematics and Computation}, 309 (2017) 156--169.].

研究动机与目标

• 通过计算基于字典积新定义的图运算的F-指数，扩展拓扑指数的研究。
• 研究四种导出图（S、R、Q、T）在字典积运算中对F-指数的结构影响。
• 建立 $ G_1[G_2]_F $ 的F-指数的闭式表达式，以 $ G_1 $ 和 $ G_2 $ 的标准图不变量表示。
• 将先前关于Zagreb指数和F-指数的结果推广到涉及字典积的更广泛图运算类别。
• 为利用F-指数在复杂图构造中预测分子图的物理化学性质提供理论基础。

提出的方法

• 从基图G通过顶点和边细分、三角形添加以及全图构造，定义四个导出图（S、R、Q、T）。
• 将四个新的图运算 $ G_1[G_2]_F $ 定义为导出图与 $ G_2 $ 的字典积，随后通过边删除以保持结构一致性。
• 使用基于度数的表达式计算F-指数，即 $ F(G) = \sum_{v \in V(G)} d_G(v)^3 $，利用边的贡献。
• 推导不同顶点类型对F-指数的贡献：$ G_1 $ 的原始顶点、$ G_1 $ 的边顶点，以及它们与 $ G_2 $ 的相互作用。
• 应用已知的Zagreb指数、超-Zagreb指数和重定义Zagreb指数恒等式，将F-指数表示为 $ M_1(G_1), M_2(G_1), F(G_1), HM(G_1), \text{Re}ZM(G_1) $ 和 $ F(G_2) $ 的形式。
• 将结果图中所有边类型的贡献合并，为每种运算（S、R、Q、T）获得 $ F(G_1[G_2]_F) $ 的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当S表示细分图时，图运算 $ G_1[G_2]_S $ 的F-指数是多少？
• RQ2 在涉及基于三角形的边扩展的 $ G_1[G_2]_R $ 运算下，F-指数如何表现？
• RQ3 基于Q-图（边-顶点邻接图）的 $ G_1[G_2]_Q $ 的F-指数是多少？
• RQ4 由 $ G_1 $ 的全图导出的 $ G_1[G_2]_T $ 的F-指数是多少？
• RQ5 这些新运算的F-指数能否用 $ G_1 $ 和 $ G_2 $ 的标准不变量表示？如果可以，其精确公式是什么？

主要发现

• 图运算 $ G_1[G_2]_S $ 的F-指数为 $ 8n_2^2 m_2 M_1(G_1) + n_1 F(G_2) + 8n_2 m_1 M_1(G_2) $，其中 $ n_i = |V(G_i)| $，$ m_i = |E(G_i)| $。
• 图运算 $ G_1[G_2]_R $ 的F-指数为 $ 4n_2^4 F(G_1) + 2n_2 m_1 M_1(G_2) + 8n_2^2 m_2 M_1(G_1) + 8n_2^4 HM(G_1) $，包含超-Zagreb指数。
• 图运算 $ G_1[G_2]_Q $ 的F-指数为 $ 4n_2^4 F(G_1) + 2n_2 m_1 M_1(G_2) + 8n_2^2 m_2 M_1(G_1) + 2n_2^4 HM(G_1) + n_2^4 (\xi_4(G_1) - 2F(G_1) - 4M_2(G_1) + 3\text{Re}ZM(G_1)) $，显示出对高阶不变量的依赖。
• 图运算 $ G_1[G_2]_T $ 的F-指数为 $ 4n_2^4 F(G_1) + 2n_2 m_1 M_1(G_2) + 8n_2^2 m_2 M_1(G_1) + 2n_2^4 HM(G_1) + n_2^4 (\xi_4(G_1) - 2F(G_1) - 4M_2(G_1) + 3\text{Re}ZM(G_1)) $，形式与 $ G_1[G_2]_Q $ 相同，但源于全图。
• 对于路径图 $ P_n $ 和 $ P_m $，推导出显式公式：$ F(P_n[P_m]_S) = 16n m^4 - 22m^4 + 24n m^3 - 36m^3 + 12m^2 - 28nm + 36m - 14n $，并对R、Q和T运算得到类似的闭式表达。
• 结果表明，这些复杂运算的F-指数可完全由分量图的标准不变量确定，从而实现高效计算和结构-性质预测。