[论文解读] $f(R)$ gravity in the Jordan Frame as a Paradigm for the Hubble Tension

Tiziano Schiavone, Giovanni Montani+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2022

Cosmology and Gravitation Theories被引用 7

一句话总结

本文提出，在乔丹表象下的$f(R)$引力可通过非最小耦合标量场改变爱因斯坦常数，自然解释哈勃张力，诱导出红移相关的有效哈勃常数$H_0^\text{eff}(z) \sim (1+z)^{-\alpha}$，其中$\alpha \sim 10^{-2}$。该模型推导出一个包含常数项、线性项和二次项的可行$f(R)$拉格朗日量，低红移时与$\Lambda$CDM一致，并为潘托尼亚超新星Ia数据中观测到的$H_0$表观变化提供动力学起源。

ABSTRACT

We analyse the $f(R)$ gravity in the so-called Jordan frame, as implemented to the isotropic Universe dynamics. The goal of the present study is to show that, according to recent data analyses of the supernovae Ia Pantheon sample, it is possible to account for an effective redshift dependence of the Hubble constant. This is achieved via the dynamics of a non-minimally coupled scalar field, as it emerges in the $f(R)$ gravity. We face the question both from an analytical and purely numerical point of view, following the same technical paradigm. We arrive to establish that the expected decay of the Hubble constant with the redshift $z$ is ensured by a form of the scalar field potential, which remains essentially constant for $z\lesssim0.3$, independently if this request is made a priori, as in the analytical approach, or obtained a posteriori, when the numerical procedure is addressed. Thus, we demonstrate that an $f(R)$ dark energy model is able to account for an apparent variation of the Hubble constant due to the rescaling of the Einstein constant by the $f(R)$ scalar mode.

研究动机与目标

• 为解决CMB基与本地$H_0$测量之间4.9$\sigma$的差异（即哈勃张力），探索修正引力作为解决方案。
• 调查潘托尼亚超新星Ia样本中观测到的$H_0^\text{eff}(z)$红移依赖性是否可由引力的动力学修正解释。
• 在乔丹表象下构建一个一致的$f(R)$引力模型，重现有效$H_0(z)$行为，且不引入新的暗能量组分。
• 验证所得$f(R)$模型在低红移极限下是否保持稳定且与$\Lambda$CDM一致。

提出的方法

• 本研究采用$f(R)$引力的乔丹表象，其中里奇标量$R$与标量场$\phi$非最小耦合，导致爱因斯坦常数的重标度。
• 假设标量场$\phi(z)$随红移$z$变化，其动力学由空间平直、各向同性的弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克宇宙中的运动方程导出。
• 采用解析方法，假设在低红移（$z \lesssim 0.3$）时标量场势能近似恒定，从而推导出标量场势能$\tilde{V}(\phi)$及相应的$f(R)$函数。
• 采用数值方法直接求解两个关键方程（2a）和（2c），无需对势能做先验假设，验证了低$z$区域的平坦势能区。
• 通过关系式$R = dV/d\phi$，$f(R) = R\phi - V(\phi)$重构$f(R)$函数，得到一个包含常数、线性和二次项的模型，形式为$f(R) \approx m^2B_0 + B_1 R + B_2 R^2/m^2$。
• 通过确保$R^2$项系数为正，验证模型稳定性，避免出现快子模式。

实验结果

研究问题

• RQ1 乔丹表象下的$f(R)$引力能否自然解释潘托尼亚超新星Ia样本中观测到的$H_0^\text{eff}(z) \sim (1+z)^{-\alpha}$依赖性，其中$\alpha \sim 10^{-2}$？
• RQ2 在$f(R)$引力中，标量场的非最小耦合是否自然导致有效爱因斯坦常数的变化，从而在不引入额外暗能量的情况下改变$H_0$？
• RQ3 所得$f(R)$模型在低红移是否与$\Lambda$CDM一致，特别是在$\alpha \to 0$和$df/dR \to 1$的极限下？
• RQ4 标量场在$z \lesssim 0.3$区域的平坦势能区是否可通过解析和数值方法同时得到，从而支持观测到的$H_0$行为？
• RQ5 所推导的$f(R)$拉格朗日量是否稳定且无快子不稳定性，由$R^2$项系数为正所证实？

主要发现

• 该模型成功重现了观测到的$H_0^\text{eff}(z) \sim (1+z)^{-\alpha}$依赖性，其中$\alpha \sim 10^{-2}$，如Dainotti等（2021, 2022）所报告，通过爱因斯坦常数的红移依赖重标度实现。
• 解析与数值方法均证实，在$z \lesssim 0.3$区域标量场势能近似平坦，对应暗能量主导的时期。
• 重构的$f(R)$函数形式为$f(R) \approx m^2B_0 + B_1 R + B_2 R^2/m^2$，包含$R$的常数项、线性项和二次项，且在$\alpha \to 0$和$K \to 1$极限下恢复$\Lambda$CDM模型。
• 模型保持稳定，因$R^2$项系数为正，确保无快子模式出现。
• 有效$H_0$的变化通过标量场动力学自然解释，无需引入额外的暗能量组分。
• 该模型提供了一个一致的框架，同时解决哈勃张力问题，并在低红移极限下保持与$\Lambda$CDM的兼容性。