[论文解读] Füredi-Hajnal limits are typically subexponential.

Josef Cibulka, Jan Kynčl|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2016

Random Matrices and Applications被引用 8

一句话总结

本文建立了 $ k $-排列矩陣 $ P $ 的 Füredi-Hajnal 常數 $ c_P $ 的次指數上界，顯示對於隨機 $ P $，幾乎必然地有 $ c_P \leq 2^{O(k^{2/3} \log^{7/3}k / (\log\log k)^{1/3})} $，且對所有 $ P $ 有 $ c_P \leq 2^{(4+o(1))k} $，改進了先前的界。此外，本文在 $ d $-維排列矩陣的避免問題中，建立了近乎匹配的上下界。

ABSTRACT

A binary matrix is a matrix with entries from the set $\{0,1\}$. We say that a binary matrix $A$ contains a binary matrix $S$ if $S$ can be obtained from $A$ by removal of some rows, some columns, and changing some $1$-entries to $0$-entries. If $A$ does not contain $S$, we say that $A$ avoids $S$. A $k$-permutation matrix $P$ is a binary $k imes k$ matrix with exactly one $1$-entry in every row and one $1$-entry in every column. The F\uredi-Hajnal conjecture, proved by Marcus and Tardos, states that for every permutation matrix $P$, there is a constant $c_P$ such that for every $n \in \mathbb{N}$, every $n imes n$ binary matrix $A$ with at least $c_P n$ $1$-entries contains $P$. We show that $c_P \le 2^{O(k^{2/3}\log^{7/3}k / (\log\log k)^{1/3})}$ asymptotically almost surely for a random $k$-permutation matrix $P$. We also show that $c_P \le 2^{(4+o(1))k}$ for every $k$-permutation matrix $P$, improving the constant in the exponent of a recent upper bound on $c_P$ by Fox. We also consider a higher-dimensional generalization of the Stanley-Wilf conjecture about the number of $d$-dimensional $n$-permutation matrices avoiding a fixed $d$-dimensional $k$-permutation matrix, and prove almost matching upper and lower bounds of the form $(2^k)^{O(n)} \cdot (n!)^{d-1-1/(d-1)}$ and $n^{-O(k)} k^{\Omega(n)} \cdot (n!)^{d-1-1/(d-1)}$, respectively.

研究动机与目标

• 改進控制 $ n \times n $ 二元矩陣中避免 $ k \times k $ 排列矩陣 $ P $ 的 1-元素最大數量之 Füredi-Hajnal 常數 $ c_P $ 的上界。
• 確定隨機 $ k $-排列矩陣的 $ c_P $ 漸近行為，顯示其通常在 $ k $ 上為次指數。
• 透過分析固定 $ d $-維 $ k $-排列矩陣的避免情形，將 Stanley-Wilf 猜想推廣至高維度。
• 在高維度中建立此類避免集合生長率的近乎緊緻上下界。

提出的方法

• 使用機率方法分析隨機 $ k $-排列矩陣的 $ c_P $ 典型行為，證明次指數界幾乎必然成立。
• 應用極值組合數學與矩陣模式避免技術，推導 $ c_P $ 的最壞情況上界，改進了 Fox 的先前結果。
• 透過分析高維中禁止配置的結構，將 Stanley-Wilf 框架推廣至 $ d $-維排列矩陣。
• 透過組合構造與熵論證，建立近乎匹配的上下界，顯示生長率為 $ (2^k)^{O(n)} \cdot (n!)^{d-1-1/(d-1)} $，僅相差多項式因子。
• 以 Marcus-Tardos 對 Füredi-Hajnal 猜想的證明為基礎，用來界定禁止排列模式的極值函數。
• 針對界中指數部分，特別是 $ k^{2/3} \log^{7/3}k / (\log\log k)^{1/3} $ 的漸近分析，以精煉次指數估計。

实验结果

研究问题

• RQ1 隨機 $ k $-排列矩陣 $ P $ 的 Füredi-Hajnal 常數 $ c_P $ 的典型值為何？
• RQ2 是否可將 $ c_P $ 的上界改進至超越指數依賴 $ k $ 的形式，特別是次指數形式？
• RQ3 避免固定 $ d $-維 $ k $-排列矩陣的 $ d $-維 $ n $-排列矩陣數量如何隨 $ n $ 和 $ k $ 而增長？
• RQ4 高維度中避免計數的上下界是否漸近緊緻？
• RQ5 此類避免集合在 $ d $-維排列中的生長率的精確漸近指數為何？

主要发现

• 對於隨機 $ k $-排列矩陣 $ P $，Füredi-Hajnal 常數滿足 $ c_P \leq 2^{O(k^{2/3} \log^{7/3}k / (\log\log k)^{1/3})} $，且幾乎必然成立。
• 對於每一個 $ k $-排列矩陣 $ P $，界進一步改善為 $ c_P \leq 2^{(4+o(1))k} $，降低指數部分的係數。
• 本文建立了避免固定 $ d $-維 $ k $-排列矩陣的 $ d $-維 $ n $-排列矩陣數量的近乎匹配上下界。
• 避免計數的上界為 $ (2^k)^{O(n)} \cdot (n!)^{d-1-1/(d-1)} $，顯示其為超指數但次階乘的增長速率。
• 下界為 $ n^{-O(k)} k^{\Omega(n)} \cdot (n!)^{d-1-1/(d-1)} $，僅相差 $ n $ 的多項式與指數因子，與上界近乎匹配。
• 結果顯示，高維排列中禁止配置的生長受到嚴密約束，界中指數依賴於維度 $ d $。