[论文解读] Faa di Bruno's formula for Gateaux differentials and interacting stochastic population processes

Daniel E. Clark, Jérémie Houssineau|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2012

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks参考文献 31被引用 13

一句话总结

本文提出了一种在拓扑向量空间上广义化的 Faà di Bruno 公式，用于 Gâteaux 微分，从而为具有层级结构和依赖关系的相互作用随机种群过程提供了统一的建模框架。其主要贡献是一种严格的变分法工具，可促进推导多目标估计中的 Chapman-Kolmogorov 方程与贝叶斯规则，该方法在多目标跟踪、分支过程以及统计物理中的重整化问题中具有应用价值。

ABSTRACT

The problem of estimating interacting systems of multiple objects is important to a number of different fields of mathematics, physics, and engineering. Drawing from a range of disciplines, including statistical physics, variational calculus, point process theory, and statistical sensor fusion, we develop a unified probabilistic framework for modelling systems of this nature. In order to do this, we derive a new result in variational calculus, Faa di Bruno's formula for Gateaux differentials. Using this result, we derive the Chapman-Kolmogorov equation and Bayes' rule for stochastic population processes with interactions and hierarchies. We illustrate the general approach through case studies in multi-target tracking, branching processes and renormalization.

研究动机与目标

• 开发一个通用的概率框架，用于建模具有相互作用和层级结构的多目标系统。
• 解决在随机种群过程中出现的复合泛函高阶导数推导挑战。
• 将概率生成泛函推广至非对称测度，以扩大其适用范围。
• 在统一的随机种群过程形式化下，统一分支过程与渗透理论中的重整化。
• 为多目标估计提供一个通用的贝叶斯解法，明确给出滤波与平滑的函数形式。

提出的方法

• 在局部凸拓扑向量空间中推导出一种新的 Faà di Bruno 公式，其表达形式为增量分划的求和。
• 将该公式应用于概率生成泛函中的复合泛函，以计算对矩密度估计至关重要的高阶导数。
• 通过修改其函数形式，将概率生成泛函推广至处理非对称点过程。
• 通过泛函的复合定义相互作用种群过程，从而实现对具有层级结构和相关性的多目标系统的建模。
• 利用新型变分工具，推导出随机种群过程的 Chapman-Kolmogorov 方程与贝叶斯规则。
• 基于 Chapman-Kolmogorov 方程与贝叶斯规则，开发一种前向-后向平滑器，后验期望通过条件核进行计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Faà di Bruno 公式广义化至拓扑向量空间中的 Gâteaux 微分，以处理随机过程中出现的复合泛函？
• RQ2 如何将概率生成泛函扩展至非对称测度，以建模非对称的多目标系统？
• RQ3 相互作用种群过程在何种方式下可统一分支过程与渗透理论中的重整化？
• RQ4 如何将贝叶斯滤波与平滑框架广义化，以处理具有层级结构和相互作用的多目标系统？
• RQ5 当先验与似然分别为独立过程或泊松过程时，多目标估计中后验测度的函数形式是什么？

主要发现

• 推导出一种新的 Faà di Bruno 公式用于 Gâteaux 微分，其表达形式为增量分划的求和，为复合泛函的高阶导数提供了紧凑且通用的表达式。
• 证明当先验为独立过程时，多目标估计的后验测度为独立过程，从而在一般情况下证明了共轭性。
• 对于一类广义模型，显式推导出后验分布 (31)，其函数形式可体现相互作用与层级结构。
• 通过 Chapman-Kolmogorov 方程与贝叶斯规则，构建了前向-后向平滑器，平滑期望以包含前向与后向转移核的条件期望形式进行计算。
• 该框架成功地将分支过程与重整化统一为相互作用种群过程模型的特例。
• 通过多目标跟踪中的案例研究，验证了多目标估计的一般解法，结果表明对泊松过程与独立过程而言，后验形式一致且易于处理。